Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả thiết:
- - Hai đường tròn (O; R) và (O'; R) cắt nhau tại A và B.
- - Vẽ các bán kính OC và O'D sao cho OC // O'D.
- - Các điểm C và D nằm cùng phía với A so với OO'.
1. Chứng minh AK // BD
- Vì OC // O'D nên ∠COB = ∠DO'B (hai góc so le trong bằng nhau).
- Mà CO và DO' là bán kính, nên tam giác COB và DO'B là hai tam giác có góc tại B bằng nhau và có cạnh OB chung.
- Xét tam giác COB và tam giác DO'B, ta có:
- ∠COB = ∠DO'B
- OB chung
→ ∠CBO = ∠DBO
- Xét tứ giác ABCD:
- A, B là giao điểm của hai đường tròn
- OC và O'D là bán kính nên CO = R = O'D
- OC // O'D ⇒ tam giác COB và DO'B đồng dạng
- Do đó: ∠CAB = ∠DBA (vì cùng bằng ∠COB)
→ ΔAKB và ΔDAB có góc tại K và D bằng nhau,
→ Mà AB là cạnh chung, nên AK // BD (góc so le trong hoặc đồng vị).
Kết luận: AK song song với BD.
2. Chứng minh A là trực tâm tam giác BCD
Ta cần chứng minh rằng A là giao điểm ba đường cao của tam giác BCD.
Ta chứng minh A nằm trên ba đường cao của tam giác BCD, tức là:
- - A là trực tâm của tam giác BCD nếu:
- -- A nằm trên đường vuông góc với CD kẻ từ B,
- -- A nằm trên đường vuông góc với BC kẻ từ D,
- -- A nằm trên đường vuông góc với BD kẻ từ C.
Cách chứng minh:
- - Vì C nằm trên đường tròn (O), D nằm trên đường tròn (O') và OC // O'D ⇒ tứ giác CODD là hình bình hành suy biến hoặc có tính chất đặc biệt.
- - Ta có OC ⊥ AB (vì tam giác COA cân tại O, góc ở A là 90 độ).
- - Tương tự, O'D ⊥ AB ⇒ AB ⊥ CD
→ Suy ra AB ⊥ CD
Tức là: A nằm trên đường vuông góc với CD kẻ từ B
- - Tương tự, ta có thể chứng minh AB ⊥ BC và AB ⊥ BD ⇒ A nằm trên hai đường cao còn lại.
Vậy A là giao điểm ba đường cao của tam giác BCD.
Kết luận: A là trực tâm tam giác BCD.🤡
Em xin tick ạ ! 🥺🥺🤡🤡🤡
Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax với (O1) và (O2), Ax cắt BC tại K
Xét (O1) có
KB,KA là các tiếp tuyến
Do đó: KB=KA
Xét (O2) có
KA,KC là các tiếp tuyến
Do đó: KA=KC
mà KA=KB
nên KB=KC
=>K là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AK là đường trung tuyến
\(AK=\frac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{BAC}=90^0\)
a.
Do IA và IB là tiếp tuyến của (O), theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(IA=IB\)
Tương tự, IA và IC là tiếp tuyến của (O') \(\Rightarrow IA=IC\)
\(\Rightarrow IA=IB=IC=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)
b.
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIB}=\widehat{OIA}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIA}\\\widehat{O'IC}=\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\widehat{CIA}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OIO'}=\dfrac{1}{2}.\widehat{BIC}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta OIO'\) vuông tại O
Do IA là tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc ngoài của 2 đường tròn \(\Rightarrow IA\perp O'O\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OIO' với đường cao IA:
\(IA^2=OA.O'A=36\Rightarrow IA=6\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow BC=2IA=12\left(cm\right)\)
a, Chứng minh được B A C ^ = 90 0 kết hợp B A D ^ = C A E ^ = 90 0 => ĐPCM
b, Chứng minh ∆BAD:∆EAC => AD.AE=AB.AC(đpcm)
c, Chứng minh tứ giác OIO’K là hình chữ nhật
Đường tròn ngoại tiếp ∆OKO’ chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ,có đường kính là IK mà IK ⊥ BC tại I
a) Ta có:
IA = IB = IC
Tam giác BAC có AI là trung tuyến và AI = BC/2
⇒ Tam giác BAC vuông tại A hay ∠BAC = 90 0
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:
c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:
IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36
=> IA = 6 (cm)
Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.
tam giác ABC có đường trung tuyến AI = 1/2 BC nên là tam giác vuông
vậy B A C ^ = 90 o
Hướng dẫn giải:
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA=IB=IC=12BCIA=IB=IC=12BC.
Do đó tam giác ABC vuông tại A
⇒ˆBAC=90∘⇒BAC^=90∘.
b) Ta có ˆI1=ˆI2;ˆI3=ˆI4I^1=I^2;I^3=I^4 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó ˆOIO′=90∘OIO′^=90∘ (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
c) Ta có AI⊥OO′AI⊥OO′.
Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có:
IA2=OA⋅O′A=9⋅4=36⇒IA=6.IA2=OA⋅O′A=9⋅4=36⇒IA=6.
Do đó BC=12cm.
Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IA=IB=IC=12BCIA=IB=IC=12BC.
Do đó tam giác ABC vuông tại A
⇒ˆBAC=90∘⇒BAC^=90∘.
b) Ta có ˆI1=ˆI2;ˆI3=ˆI4I^1=I^2;I^3=I^4 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Do đó ˆOIO′=90∘OIO′^=90∘ (hai tia phân giác của hai góc kề bù).
c) Ta có AI⊥OO′AI⊥OO′.
Xét tam giác OIO' vuông tại I, ta có:
IA2=OA⋅O
Hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm A ⇒ ba điểm O1, A, O2 thẳng hàng.
Vì BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, nên:
Do đó, hai đoạn O1B và O2C cùng vuông góc với BC ⇒ O1B song song với O2C.
Khi đó:
Mà O1A và O2A nằm trên cùng một đường thẳng (vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A), nên AB và AC lần lượt vuông góc với hai đoạn thẳng đối nhau trên cùng một đường thẳng.
=> Góc giữa AB và AC là 90 độ.
Kết luận:
\(\boxed{\angle B A C = 90^{\circ}}\)