Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi (un) và (an) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d2 và có cùng n số hạng.
Ta có:
un = u1 + (n -1) d1
an = a1 + (n – 1)d2
⇒ un + an = u1 + a1 + (n – 1).(d1 + d2)
Vậy un + an là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 + a1 và công sai là d1 + d2
Ví dụ:
1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d1 = 2
0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d2 = 5
⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7
Giả sử có hai cấp số nhân (un) với công bội q1 và (vn) với công bội q2.
Xét dãy số (an) với an = un.vn với mọi n ∈ N*.
Ta có:
⇒ (an) là cấp số nhân với công bội q1.q2.
Ví dụ:
+ CSN (un) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … có công bội q1 = 2.
+ CSN (vn) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … có công bội q2 = -1.
⇒ CSN (an) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … có công bội q = -2.
an= a1. q1n-1, q1 là hằng số
bn= \(b_1q_2^{n-1}\), q2 là hằng số
Khi đó: an.bn = = a1. q1n-1. b1. q1n-1 = (a1b1)(q1q2)n-1
Vậy dãy số anbn là một cấp số nhân có công bội : q = q1q2
Ví dụ:
1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q1 = 2
3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q2 = 3
⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q1q2 = 2.3 = 6
Gọi ba số đó là \(x,y,z\). Do ba số là các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên:
\(x;y=x+7d;z=x+42d\). (Với d là công sai của cấp số cộng).
Ta có: \(x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=217\).
Mặt khác x, y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
\(y^2=xz\)\(\Leftrightarrow\left(x+7d\right)^2=x\left(x+42d\right)\)\(\Leftrightarrow-28xd+49d^2=0\)\(\Leftrightarrow7d\left(-4x+7d\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=0\\-4x+7d=0\end{matrix}\right.\).
Với \(d=0\) suy ra \(x=y=z=\dfrac{217}{3}\).
Suy ra: \(n=820:\dfrac{217}{3}=\dfrac{2460}{217}\notin N\).
Với \(4+7d=0\). Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}4x+7d=0\\3x+49d=217\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\d=4\end{matrix}\right.\).
Vậy \(u_1=7-4=3\).
Có \(S_n=\dfrac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]n}{2}=\dfrac{\left[2.3+\left(n-1\right)4\right]n}{2}=820\)
\(\Rightarrow n=20\left(tm\right)\).
Theo đầu bài ta có :
\(\begin{cases}u_2-u_1=7\\u_3-u_2=14\\u_4-u_3=21.......\\....u_n-u_{n-1}=7\left(n-1\right)\end{cases}\)
Cộng các vế của các phương trình của hệ, ta được :
\(\Leftrightarrow u_n-u_1=7+14+21+.....+7\left(n-1\right)=7\frac{n\left(n-1\right)}{2}\left(1\right)\)
Đặt \(u_n=35351\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow35351-1=7\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow n^2-n-10100=0\rightarrow n=101\)
Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số
Chọn D
Gọi 4 số phải tìm là a1, a2, a3, a4. Theo đầu bài Ta có hệ:
Giải các hệ phương trình Ta có kết quả a1=2, a2=4, a3=8 và a4=12
Chọn D
Chọn C
Theo đề bài ta có:
Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được:
Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un + d1 + vn + d2) – (un + vn)
= d1 + d2 = const
⇒(an) là cấp số cộng với công sai d1 + d2.
Ví dụ:
CSC (un): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d1 = 3 ;
CSC (vn): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d2 = 2.
⇒ (an): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.