Question

[thánh yasuo lmht]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh:

\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

\(BDT\LeftrightarrowΣ\frac{a^2}{a+b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Áp dụng BDT C-S dạng Engel ta có:

\(Σ\frac{a^2}{a+b^2}=\text{ }Σ\frac{a^4}{a^3+a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\)

Vậy đi chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Hay \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)Σ\left(a^3+b^2c^2\right)\)

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=3u\\ab+ac+bc=3v^2\\abc=w^3\end{cases}}\)

Bởi vì điều kiện không phụ thuộc vào \(w^3\), ta thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức tuyến tính của \(w^3\), đủ để chứng minh rằng bất đẳng thức cuối cùng đạt một giá trị cực đại là \(w^3\), xảy ra trong trường hợp hai biến bằng nhau hoặc có thể cho \(w^3\rightarrow0^+\)

Sau khi biến đổi đồng nhất ta cần chứng minh.

\(\left(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge3\left(a+b+c\right)^2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)^2\)

*)\(b=c=1\) Ta được

\(\left(a-1\right)^2\left(a^8-2a^7+17a^6-8a^5+75a^4-10a^3+73a^2-4a+20\right)\ge0\) ( hiển nhiên đúng)

*)\(w^3\rightarrow0^+\) để  \(c\rightarrow0^+\) và \(b=1\), ta đc:

\(a^{10}-2a^9+10a^8-12a^7+26a^6-26a^5+26a^4-12a^3+10a^2-2a+1\ge0\)( cũng đúng)

Answer 2

[Thắng Nguyễn]

cách này phiêu quá lát mk làm lại