Question

[N.T.M.D]

Cho các số ko âm a,b,c.Chứng minh

(\(a^2\)+1)(\(a^2b^2\)+4)(\(a^2b^2c^2\)+16) \(\ge\)64\(a^3b^2c\)

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2a\)

\(a^2b^2+4\ge2\sqrt{4a^2b^2}=2\left|2ab\right|=4ab\)

\(a^2b^2c^2+16\ge2\sqrt{16a^2b^2c^2}=2\left|4abc\right|=8abc\)

Nhân vế với vế các bđt trên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

Vì \(a\ge0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:

\(a^2+1\ge2a\left(1\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(a^2b^2+4\ge4ab\left(a,b\ge0\right)\left(2\right)\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(a^2b^2c^2+16\ge8abc\left(a,b,c\ge0\right)\left(3\right)\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)ta được:

\(\left(a^2+1\right)\left(a^2b^2+4\right)\left(a^2b^2c^2+16\right)\ge2a.4ab.8abc=64a^3b^2c\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=1\\a^2b^2=4\\a^2b^2c^2=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\ab=2\\abc=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=2\end{cases}}\)

Và \(a,b,c\ge0\)

Vậy \(\left(a^2+1\right)\left(a^2b^2+4\right)\left(a^2b^2c^2+16\right)\ge64a^3b^2c\)với \(a,b,c\ge0\).