Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(ad=bc=>\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=>\frac{a^{2007}}{c^{2007}}=\frac{b^{2007}}{d^{2007}}=\frac{\left(a+b\right)^{2007}}{\left(c+d\right)^{2007}}\)(1)
Áp dụng tính chất dãy tiir số bằng nhau ta có :
\(\frac{a^{2007}}{c^{2007}}=\frac{b^{2007}}{d^{2007}}=\frac{a^{2007}-b^{2007}}{c^{2007}-d^{2007}}\)(2)
Từ 1 và 2 suy ra đpcm
Hok tốt nha !
Bài 1: Viết mỗi biểu thức sau về dạng tổng (hiệu) 2 bình phương:
a. x2 - 2xy + 2y2 + 2y +1
= (x2 - 2xy + y2) +( y 2 + 2y +1)
= (x-y)2 + (y+1)2
b. 4x2 - 12x - y2 + 2y + 8
= (4x2 - 12x + 9 ) - (y2 - 2y +1 )
= (2x-3)2 - (y-1)2
Ta có: \(\left(x+3\right)^2+\left(x^2-9\right)^2=0\)
vì: (x + 3)2 \(\ge\)0; (x2 - 9)2 \(\ge\)0
=> \(\hept{\begin{cases}x+3=0\\x^2-9=0\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}x=-3\\x^2=9\end{cases}}\)
=> \(\hept{\begin{cases}x=-3\\x=\pm3\end{cases}}\) => \(x=-3\)
=> -3 là nghiệm cảu đa thức (x + 3)2 + (x2 - 9)2
Trả lời:
( x + 3 )2 + ( x2 - 9 )2 = 0
<=> [ ( x + 3 ) - ( x2 - 9 ) ] [ ( x + 3 ) + ( x2 - 9 ) ] = 0
<=> [ ( x + 3 ) - ( x - 3 ) ( x + 3 ) ] [ ( x + 3 ) + ( x - 3 ) ( x + 3 ) ] = 0
<=> [ ( x + 3 ) ( 1 - x + 3 ) ] [ ( x + 3 ) ( 1 + x - 3 ) ] = 0
<=> ( x + 3 ) ( 1 - x + 3 ) ( x + 3 ) ( 1 + x - 3 ) = 0
<=> ( x + 3 )2 ( 4 - x ) ( x - 2 ) = 0
<=> ( x + 3 )2 = 0 hoặc 4 - x = 0 hoặc x - 2 = 0
<=> x = - 3 hoặc x = 4 hoặc x = 2
Vậy x = - 3; x = 4; x = 2
\(\frac{1}{7^2}A=\frac{1}{7^2}\left(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{7^6}-\frac{1}{7^8}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{7^2}A=\frac{1}{7^4}-\frac{1}{7^6}+\frac{1}{7^8}-\frac{1}{7^{10}}+...+\frac{1}{7^{100}}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{7^2}A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\Rightarrow\frac{50}{49}A=\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{7^{102}}\right)\cdot\frac{49}{50}< \frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)
Nhân \(2^2\) vào hai vế của hằng đẳng thức ta được:
\(2^2.B=2^2+2^4+2^6+...+2^{102}\)
Lấy \(2^2B-B\) ta được:
\(4B-B=\left(2^2+2^4+2^6+...+2^{102}\right)-\left(1+2^2+2^4+...+2^{100}\right)=2^{102}-1\)
\(\Rightarrow3B=2^{102}-1\)
\(\Rightarrow B=\frac{2^{102}-1}{3}\)
Ok mình sẽ giải chi tiết cho bạn nhé! Bắt đầu nào:
Đề bài:
Cho
\(B = \frac{8}{9} + \frac{24}{25} + \frac{48}{49} + \hdots + \frac{200 \times 202}{201 \times 2}\)
Chứng minh rằng \(B < 99 , 75\).
Bước 1: Phân tích mẫu số và tử số
Nhận xét:
Tuy nhiên, nhìn kỹ tử và mẫu, ta thấy mỗi phân số có dạng:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)} (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right) = \left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} )\)
=> mỗi phân số có dạng:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 2: Biến đổi phân số
Biến đổi tử:
\(n \left(\right. n + 2 \left.\right) = \left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1\)
Giải thích:
\(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} = n^{2} + 2 n + 1\) \(n \left(\right. n + 2 \left.\right) = n^{2} + 2 n\)
Vậy:
\(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n + 1 - 1 = n^{2} + 2 n = n \left(\right. n + 2 \left.\right)\)
=> Vậy:
\(\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = 1 - \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 3: Biểu diễn B
Vậy:
\(B = \sum \left(\right. 1 - \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} \left.\right)\)
Tức là:
\(B = (\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{l}ượ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} ) - \sum \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 4: Xác định số lượng phân số
Quan sát:
Các giá trị \(n\) chạy từ \(2\) đến \(200\), cách đều 2 đơn vị: \(2 , 4 , 6 , 8 , \ldots , 200\).
Số lượng giá trị \(n\) là:
\(\frac{200 - 2}{2} + 1 = 100\)
Vậy B có tổng cộng 100 phân số.
Bước 5: Viết lại B
Vậy:
\(B = 100 - \underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Bước 6: Ước lượng tổng các phân số nhỏ
Ta cần ước lượng:
\(\underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\)
Nhận xét:
Với \(n\) tăng, \(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}\) cũng tăng nhanh → các phân số này rất nhỏ.
Và:
Đến \(n = 200\):
\(\frac{1}{\left(\right. 200 + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{201^{2}}\)
Bước 7: Ước lượng tổng
Ta thấy:
Các số hạng càng ngày càng nhỏ.
Tổng quát: từ \(n\) lớn thì \(\frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}\) rất bé.
Ước lượng sơ bộ:
Ta lấy tổng xấp xỉ:
Giả sử tổng tất cả các số hạng nhỏ hơn \(0 , 25\).
Tức là:
\(\underset{n = 2 , 4 , 6 , \ldots , 200}{\sum} \frac{1}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} < 0 , 25\)
Bước 8: Kết luận
Vậy:
\(B = 100 - (\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nh}ỏ\&\text{nbsp};\text{h}o\text{n}\&\text{nbsp};\text{0},\text{25})\)
=> \(B > 99 , 75\).
Nhưng vì số nhỏ kia gần 0,25 mà chưa đủ 0,25, nên:
\(B < 100 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B > 99 , 75\)
Nói cách khác:
\(B < 99 , 75\)
Đã chứng minh xong!