Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi
b, \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\); \(\frac{b+c}{b+c+a}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d};\frac{d+a}{a+d+b}>\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Cộng các bĐT trên
=> \(B>\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Ta có Với \(0< \frac{x}{y}< 1\)
=> \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\)
Áp dụng ta có
\(B>\frac{a+b+d}{a+b+c+d}+...+\frac{d+a+c}{a+b+c+d}=3\)
Vậy 2<B<3
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
vì a,b,c,d,e là năm nghiệm của P(x)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\left(x-e\right)\)
Ta có :
\(Q\left(a\right)=a^2-2=-\left(2-a^2\right)=-\left(\sqrt{2}-a\right)\left(\sqrt{2}+a\right)=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(-\sqrt{2}-a\right)\)
\(Q\left(b\right)=\left(\sqrt{2}-b\right)\left(-\sqrt{2}-b\right)\)
....
\(Q\left(e\right)=\left(\sqrt{2}-e\right)\left(-\sqrt{2}-e\right)\)
\(\Rightarrow Q\left(a\right).Q\left(b\right).Q\left(c\right).Q\left(d\right).Q\left(e\right)=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(\sqrt{2}-b\right)\left(\sqrt{2}-c\right)\left(\sqrt{2}-d\right).\left(\sqrt{2}-e\right)\left(-\sqrt{2}-a\right)\left(-\sqrt{2}-b\right)\left(-\sqrt{2}-c\right)\left(-\sqrt{2}-d\right)\left(-\sqrt{2}-e\right)\)
\(=P\left(\sqrt{2}\right).P\left(-\sqrt{2}\right)=-23\)
Đặt \(\left(\frac{a}{b+c};\frac{b}{c+a};\frac{c}{a+b}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) Khi đó ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2+14xyz\ge4\)
Theo BĐT Nesbit \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\left(x+y+z\right)^2+14xyz=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+14xyz\)
\(=x^2+y^2+z^2+6xyz+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge4\left(xy+yz+xz\right)+8xyz=4\)
????????????????????????????????????????