LH
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
GD
4 tháng 10 2019
Từ gt =>
\(\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+d}\right)\)= \(\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\)\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)
( Theo Cô-si )
Vậy :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{1+a}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{cda}{\left(1+c\right)\left(1+d\right)\left(1+a\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{dca}{\left(1+d\right)\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\ge0\\\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\ge0\end{matrix}\right.\)
=> \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\frac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
HP
2
TN
27 tháng 3 2017
Từ \(abc=1\) VÀ \(a,b,c>0\) áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3;a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(VT=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
\(=\frac{a^4}{\left(1+ab\right)\left(1+ac\right)}+\frac{b^4}{\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)}+\frac{c^4}{\left(1+ca\right)\left(1+cb\right)}\)
\(=\frac{a^4}{a+ab+ac+1}+\frac{b^4}{b+bc+ba+1}+\frac{c^4}{c+ca+cb+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c+2\left(ab+bc+ca\right)+3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\left(a+b+c\ge3\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\)( dễ c/m rằng \(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\))
Vậy ta cần c/m \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\ge3\). Ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t+3\right)\ge0\forall t\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
TN
27 tháng 3 2017
Hay sử dụng Am-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Thiết lập 2 BĐT tương tự r` cộng theo vế
15 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\ge\frac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d+e}=\frac{25}{a+b+c+d+e}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = e
HT
2
TB
29 tháng 4 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
Dấu "=" xảy ra <=> a= b = c = 1/3
(bđt Svacxo lên mạng tra nha)
29 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT Cô - Si với ba số dương a , b , c , ta có
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si với ba số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\), ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân hai vế của Bất đẳng thức, ta được:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Dấu = sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a=b=c\end{cases}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
10 tháng 8 2017
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
10 tháng 8 2017
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
\(GT\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}-1+\frac{1}{1+b}-1+\frac{1}{1+c}-1+\frac{1}{1+d}-1\)\(\ge3-4\)
\(\Rightarrow\frac{-a}{1+a}+\frac{-b}{1+b}+\frac{-c}{1+c}+\frac{-d}{1+d}\ge-1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(1+b\right)+b\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{c\left(1+d\right)+d\left(1+c\right)}{\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{a+2ab+b}{1+a+b+ab}+\frac{c+2cd+d}{1+c+d+cd}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô - si , ta có:
\(1\ge\frac{2\sqrt{ab}+2ab}{1+2\sqrt{ab}+ab}+\frac{2\sqrt{cd}+2cd}{1+2\sqrt{cd}+cd}=\frac{2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2\sqrt{cd}}{1+\sqrt{cd}}\)
\(\Rightarrow1\ge2\left[2\sqrt{\frac{\sqrt{abcd}}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{cd}+\sqrt{abcd}}}\right]\)\(=4.\frac{\sqrt[4]{abcd}}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{cd}+\sqrt{abcd}}\)
\(\Rightarrow1\ge\frac{4\sqrt[4]{abcd}}{1+2\sqrt[4]{abcd}+\sqrt{abcd}}=\frac{4\sqrt[4]{abcd}}{\sqrt{\left(1+\sqrt[4]{abcd}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow4\sqrt[4]{abcd}\le\sqrt{\left(1+\sqrt[4]{abcd}\right)^2}\)
\(\Rightarrow4\sqrt[4]{abcd}\le1+\sqrt[4]{abcd}\)(vì a,b,c,d dương)
\(\Rightarrow3\sqrt[4]{abcd}\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt[4]{abcd}\le\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{3}\))
Coll boy ! Bài này dòng 5 em áp dụng bất đẳng thức cô-si như vậy là chưa đúng nhé! Em kiểm tra lại mẫu trái dấu em nhé!