Question

[Nguyễn Thu Hương]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c\(\le3\).

CMR : A= \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)

(Sử dụng Cauchy)

Answer 1

[Phạm Nguyễn Tất Đạt]

Đầu tiên ta cm bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)

Áp dụng ta có:

\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\)

Cần cm:\(ab+bc+ca\le3\)

Hay \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>đpcm