Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Áp dụng AM-GM ta có : \(\frac{a}{a^2+1}=\frac{a}{a^2+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\le\frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}=\frac{9a}{6a+8}\)
Áp dụng BĐT : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)với \(x,y,z>0\)( Dễ dàng CM bằng AM-GM )
\(\left(6a+8+6b+8+6c+8\right)\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\ge9\)
\(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\ge\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\)
Ta có : \(\frac{9a}{6a+8}=\frac{3}{2}-\frac{12}{6a+8}\)
\(\rightarrow\frac{9a}{6a+8}+\frac{9b}{6b+8}+\frac{9c}{6c+8}=\frac{9}{2}-12\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\)
Lại có : \(\frac{9}{2}-12\left(\frac{1}{6a+8}+\frac{1}{6b+8}+\frac{1}{6c+8}\right)\le\frac{9}{2}-12.\frac{3}{10}=\frac{9}{2}-\frac{18}{5}=\frac{9}{10}\)
Bunhiacopxkhi \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}\ge a+b+c\)
Ta có:\(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\le\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\sqrt{3}A=\frac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{3b}\sqrt{b+bc+ba}+\sqrt{3c}\sqrt{c+ca+cb}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{4a+ab+ac+4b+bc+ba+4c+ca+cb}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{6+a+b+c}{3}\le\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Vì abc = 1 nên ta có thể đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\). Khi đó:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\left(\text{ }\right)\)(Theo BĐT Cauchy-Schwarz)
\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{3}{4}\left(\Sigma_{cyc}\frac{xy+yz}{xy+yz}\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Tham khảo
Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!
Ok, giờ chú ý:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.
Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)
\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
bạn xem lại cái đề được không
với a=1/2; b=7/10; c=13/10 thì bất đẳng thức trên không đúng
Sửa đề: a+b+c>=3
Hay 6<= 2(a+b+c)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(\frac{a^2}{a+2}+\frac{b^2}{b+2}+\frac{c^2}{c+2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}\ge\frac{3}{3}=1\)
p/s: ko chắc lắm bạn ktra giúp mình nha
Cách 1:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Tương tự:\(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right);\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế có đpcm
Cách 2:
Áp dụng Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+a+1\right)+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3^2}{ab+a+1}+\frac{1}{1}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{9}{bc+b+1}+1\right);\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{9}{ca+c+1}+1\right)\)
Cộng lại:
\(LHS\le\frac{9}{16}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)+\frac{3}{16}\)
Mà \(abc=1\) nên theo bổ đề quen thuộc ta có được đẳng thức sau luôn đúng:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\)
Khi đó ta có được đpcm
Vừa nghĩ ra cách này khá là oke gửi đến các bạn :))
Nháp:
Ta đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{u}{v};\frac{v}{w};\frac{w}{u}\right)\) thì ta có được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\frac{u}{v}\cdot\frac{v}{w}+\frac{u}{v}+2}=\frac{vw}{uv+uw+2vw}\) đến đây ta chưa được gì cả nên nghĩ đến hướng đi khác
Để ý rằng ta làm tử và mẫu khử nhau rồi tạo ra phân thức mới rồi nhân ngược lên ta được tử số có 2 thừa số nhân lại với nhau
Ta cần tạo ra ít mẫu nhất có thể để bớt sự phức tạp. Mà ta lại có:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\frac{u}{v}\cdot\frac{w}{u}+\frac{u}{v}+2}=\frac{v}{w+u+2v}\)
Đến đây rõ ràng đã bớt sự phức tạp. Khi đó ta có lời giải như sau:
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{u}{v};\frac{w}{u};\frac{v}{w}\right)\)
Ta có được
\(LHS=\frac{v}{w+u+2v}+\frac{w}{u+v+2w}+\frac{u}{v+w+2u}\)
\(=3-\left(\frac{u+v+w}{w+u+2v}+\frac{u+v+w}{u+v+2w}+\frac{u+v+w}{v+w+2u}\right)\)
\(=3-\left(u+v+w\right)\left(\frac{1}{u+w+2v}+\frac{1}{u+v+2w}+\frac{1}{v+w+2u}\right)\)
\(\le3-\left(u+v+w\right)\cdot\frac{9}{4\left(u+v+w\right)}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Đặt a ; b và c = 1
Ta có: \(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\)
\(1>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai.
Cách khác: Nếu bấm máy tính casio thì nó ra là \(\frac{3}{2}\)mà \(\frac{3}{2}>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai
cô si ngược đi