Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét bất đẳng thức:
2(ab+bc+ac)>a2+b2+c2
hay ab+bc+ac+ab+bc+ac>a2+b2+c2
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a<(b+c)<=>a2<(ab+ac)(1)
b<(a+c)<=>b2<(ab+bc)(2)
c<(a+b)<=>c2<(ac+bc)(3)
Từ (1),(2),(3), suy ra 2(ab+bc+ac)>a2+b2+c2 (đpcm)
Áo dụng hệ quả bất đẳng thức trong tam giác ta có :
\(\hept{\begin{cases}a-b< c\\b-c< a\\c-a< b\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-2ab+b^2< c^2\\b^2-2bc+c^2< a^2\\c^2-2ac+a^2< b^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)< a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
bằng nhau trong trường hợp tam giác đều bạn tự làm nha còn bé hơn thì trước tiên viết 3 bất đẳng thức của tam giác sau đó cho 1 giả sử để chứng minh hoặc là biến đổi bất đẳng thức của tam giác giờ mình lười làm lắm hướng dẫn như vậy thôi
Giả sử \(0< a\le c\)\(\Rightarrow a^2\le c^2\)
\(a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\)
\(\Rightarrow b^2>4a^2\)
\(\Rightarrow b>2a\) (1)
\(c^2\ge a^2\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow c^2+b^2>5c^2\)\(\Rightarrow b^2>4c^2\Rightarrow b>2c\) (2)
Cộng (1) và (2) ta được:
\(2b>2a+2c\Rightarrow b>a+c\) ( vô lý )
\(\Rightarrow c< a\)
Chứng minh tương tự : \(c< b\)
Do \(\hept{\begin{cases}c< a\\c< b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AB< BC\\AB< AC\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{C}< \widehat{A}\\\widehat{C}< \widehat{B}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}\)
\(\Rightarrow3\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{C}< 60^o\) (đpcm)
a; b; c là 3 cạnh của tam giác => |a - c| < b ; |a - b| < c ; |b - c| < a
=> (|a - c|)2 < b2 => a2 - 2ac + c2 < b2 (1)
(|a - b|)2 < c2 => a2 - 2ab + b2 < c2 (2)
(|b - c|)2 < a2 => b2 - 2bc + c2 < a2 (3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta được: 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
=> a2 + b2 + c2 < ab + bc + ca (đpcm)
Nhiều thế.
Bài 1:
B C A
Xét \(\Delta ABC\)có \(AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại \(A\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=70\)độ
\(\Rightarrow\widehat{A}=180-70-70\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=40\)độ
(Mình làm hơi nhanh khúc tính nhé tại đang bận!)
Tiếp nè: Bài 2
A B C H
Bạn xét 2 lần pytago là ra nhé. Lần 1 với \(\Delta AHC\). Lần 2 với \(\Delta AHB\). Thế là xong 2 câu a,b
Bài 3:
B A C H
a) Ta có \(\Delta ABC\)cân tại \(A\)
\(\Rightarrow AH\)vừa là đường cao vừa là trung tuyến
\(\Rightarrow HB=HC\)
b) Câu này không có yêu cầu.
c + d: Biết là \(\widehat{HDE}=90\)và \(\Delta HDE\)nhưng không nghĩ ra cách làm :(
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Áp dụng BĐT tam giác ta được:
\(a< b+c\)
\(\Rightarrow a^2< a\left(b+c\right)\left(1\right)\)
\(b< a+c\)
\(\Rightarrow b^2< b\left(a+c\right)\left(2\right)\)
\(c< a+b\)
\(\Rightarrow c^2< c\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3),vế theo vế ta được:
\(a^2+b^2+c^2< a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)