Question

[Yoriichi Tsugikuni]

Cho △ABC có AB = AC và AH ⊥ BC tại H. Chứng minh:

a) △ABH = △ACH.

b) Kẻ HM ⊥ AB tại M và HN ⊥ AC tại N. Chứng minh △AMH = △ANH.

c) △MBH = △NCH.

d) HA là phân giác góc MHN.

e) MN // BC.

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

  

a) Xét hai tam giác vuông: ∆ABH và ∆ACH có:

AB = AC (gt)

AH là cạnh chung

⇒ ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Do ∆ABH = ∆ACH (cmt)

⇒ ∠BAH = ∠CAH (hai góc tương ứng)

⇒ ∠MAH = ∠NAH

Xét hai tam giác vuông: ∆AMH và ∆ANH có:

AH là cạnh chung

∠MAH = ∠NAH (cmt)

⇒ ∆AMH = ∆ANH (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Do ∆AMH = ∆ANH (cmt)

⇒ MH = NH (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ABH = ∆ACH (cmt)

⇒ BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆MBH và ∆NCH có:

BH = CH (cmt)

MH = NH (cmt)

⇒ ∆MBH = ∆NCH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

d) Do ∆AMH = ∆ANH (cmt)

⇒ ∠MHA = ∠NHA (hai góc tương ứng)

⇒ HA là tia phân giác của ∠MHN

e) Gọi D là giao điểm của MN và AH

Do ∆AMH = ∆ANH (cmt)

⇒ ∠MAH = ∠NAH (hai góc tương ứng)

⇒ ∠MAD = ∠NAD

Do ∆AMH = ∆ANH (cmt)

⇒ AM = AN (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆AMD và ∆AND có:

AM = AN (cmt)

∠MAD = ∠NAD (cmt)

AD là cạnh chung

⇒ ∆AMD = ∆AND (c-g-c)

⇒ ∠AMD = ∠AND (hai góc tương ứng)

⇒ ∠AMN = ∠ANM

∆AMN có:

∠AMN + ∠ANM + ∠MAN = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆AMN)

⇒ ∠AMN = ∠ANM = (180⁰ - ∠MAN) : 2

= (180⁰ - BAC) : 2   (1)

Do ∆ABH = ∆ACH (cmt)

⇒ ∠ABH = ∠ACH (hai góc tương ứng)

⇒ ∠ABC = ∠ACB

∆ABC có:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆ABC)

⇒ ∠ABC = ∠ACB = (180⁰ - ∠BAC) : 2   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠AMN = ∠ABC

Mà ∠AMN và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ MN // BC