Question

[Dun Trần Đông]

cho a,b ,c thoa man a+b+c=3 

cm \(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}>=\frac{3}{2}\)

cam on nhieu

giai cach lop 9 nha

Answer 1

[Ma Sói]

có sai đề ko

mk làm ko đc

Answer 2

[Ma Sói]

mk nghĩ đây là đề đúng

\(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\\\dfrac{b}{1+c^2}=b-\dfrac{bc^2}{1+c^2}\\\dfrac{c}{1+a^2}=c-\dfrac{ca^2}{1+a^2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\dfrac{ab^2}{1+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab}{2}\) (1)

C/m tg tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}b-\dfrac{bc^2}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\\c-\dfrac{ca^2}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ac}{2}\end{matrix}\right.\) (2)

Chứng minh điều sau:\(ab+bc+ca\le3\)

Ta có:

\((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\)

\(\Leftrightarrow9\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

Mà \(ab+bc+ca\le3\)

Nên \(VT\ge a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

=> ĐPCM