Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(\Delta OCK\)vuông , \(CM\perp OK\)nên
\(KC^2=KM.KO\)
Kc là tiếp tuyến , KEF là cát tuyến nên
\(KC^2=KE.KF\)
\(\Rightarrow KM.KO=KE.KF\),nên
\(\dfrac{KM}{KE}=\dfrac{KF}{KO}\)
Ta có : \(\Delta KEM~\Delta KOF\left(c.g.c\right)\)nên \(\widehat{M_1=\widehat{F_1,}}\)từ đó EMOF là tứ giác nội tiếp. (1)
b,Đặt \(\widehat{M_1=\widehat{F_1=\alpha}.}\)Ta có : ...
( tự làm nốt nhé !!!)
a) vuông, nên
Kc là tiếp tuyến, KEF là cát tuyến nên
Suy ra , nên
Ta có nên , từ đó EMOF là tứ giác nội tiếp. (1)
b) Đặt . Ta có ...
chịu chịu chịu
a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.
b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:
\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)
Xét tam giác vuông ACB, ta có:
\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)
Xét tam giác vuông ABD, ta có:
\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)
c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.
Vậy O' là trung điểm BD.
Xét tam giác OCO' và OBO' có:
O'C = O'B (gt)
OC = OB (= R)
OO' chung
\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)
Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').
d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.
\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)
Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:
Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi
\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.
Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)
\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)
Vậy thì:
\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)
Thấy ngay IH = r.
Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\) (Do BI là phân giác góc vuông)
Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)
\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác vuông OIH, ta có:
\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)
a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.
b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:
\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)
Xét tam giác vuông ACB, ta có:
\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)
Xét tam giác vuông ABD, ta có:
\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)
c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.
Vậy O' là trung điểm BD.
Xét tam giác OCO' và OBO' có:
O'C = O'B (gt)
OC = OB (= R)
OO' chung
\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)
Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').
d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.
\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)
Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:
Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi
\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.
Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)
\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)
Vậy thì:
\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)
Thấy ngay IH = r.
Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\) (Do BI là phân giác góc vuông)
Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)
\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác vuông OIH, ta có:
\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)