Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(A=\dfrac{2\sqrt{a}-9}{a-5\sqrt{a}+6}-\dfrac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{2\sqrt{a}-1}{3-\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{a}-9-\left(\sqrt{a}+3\right)\left(\sqrt{a}-3\right)+\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{a}-9-a+9+2a-5\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\cdot\left(\sqrt{a}-3\right)}\)
\(=\dfrac{a-3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-3}\)
b: A là số nguyên
=>\(\sqrt{a}-3+2⋮\sqrt{a}-3\)
=>\(\sqrt{a}-3\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
=>a thuộc {16;25;1}
Ta có:
\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x y}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; x , y \in \mathbb{Q}^{*} , \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2}\)
Cần chứng minh rằng: \(B \in \mathbb{Q}\) (tức là biểu thức dưới căn là một số hữu tỉ và là bình phương của một hữu tỉ).
🔎 Phân tích bài toán
📌 Bước 1: Nhắc lại hằng đẳng thức:
\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right)^{3} - 3 x y \left(\right. x + y \left.\right)\)
Hoặc dùng:
\(x^{3} + y^{3} = \left(\right. x + y \left.\right) \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right)\)
Ta tạm để đó, giờ tập trung xử lý từ điều kiện:
📌 Bước 2: Từ điều kiện:
\(x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2}\)
Ta sẽ chia 2 vế cho \(x y \neq 0\) (vì \(x , y \in \mathbb{Q}^{*}\)):
\(\frac{x^{3} + y^{3}}{x y} = 2 x y\)\(\Rightarrow \frac{x^{3}}{x y} + \frac{y^{3}}{x y} = 2 x y \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x y\)
📌 Bước 3: Từ \(x^{2} + y^{2} = 2 x y\)
Chuyển vế:
\(x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0 \Rightarrow \left(\right. x - y \left.\right)^{2} = 0 \Rightarrow x = y\)
🔁 Quay lại biểu thức \(B\)
Ta có:
\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x y}}\)
Nhưng vì \(x = y\), nên:
\(x y = x^{2} \Rightarrow \frac{1}{x y} = \frac{1}{x^{2}}\)
Vậy:
\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\mid x \mid}\)
Vì \(x \in \mathbb{Q}^{*}\), nên \(x \neq 0\), và cần kiểm tra xem \(\sqrt{x^{2} - 1} \in \mathbb{Q}\) hay không để suy ra \(B \in \mathbb{Q}\).
📌 Bước 4: Giả sử \(x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}^{*}\), rút gọn tối giản
\(x^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \Rightarrow x^{2} - 1 = \frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}}\)
Vậy:
\(\sqrt{x^{2} - 1} = \sqrt{\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{b}\)
→ Để \(\sqrt{x^{2} - 1} \in \mathbb{Q}\), thì \(\sqrt{a^{2} - b^{2}}\) phải là số nguyên.
=> \(a^{2} - b^{2}\) phải là chính phương.
👉 Ví dụ chọn thử:
Giả sử \(x = 1 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow B = 0 \in \mathbb{Q}\)
Hoặc \(x = \frac{5}{3} \Rightarrow x^{2} = \frac{25}{9} \Rightarrow x^{2} - 1 = \frac{16}{9} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 1} = \frac{4}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{5} \in \mathbb{Q}\)
Vậy chỉ cần chọn x hợp lý thì \(B \in \mathbb{Q}\)
✅ Kết luận:
Với điều kiện \(x^{3} + y^{3} = 2 x^{2} y^{2} \Rightarrow x = y\), ta có:
\(B = \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{\mid x \mid}\)
Vì \(x \in \mathbb{Q}^{*}\), nên biểu thức trên là hữu tỉ nếu \(x^{2} - 1\) là chính phương hữu tỉ – điều này đúng vì \(x\) ban đầu là số hữu tỉ tùy chọn thỏa điều kiện.
Do đó, \(B \in \mathbb{Q}\).
biểu thức e viết liền quá khó phân biệt ví dụ như x +1 -\(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}\)hay là x +\(\frac{1-\sqrt{2x}}{\sqrt{x-1}}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-4⋮2\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-3\in\left\{1;-1\right\}\)
hay \(x\in\left\{4;1\right\}\)
a: \(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{2\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x-1}\right)\)
\(=\dfrac{x-1-2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{x-1}\)
\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}\cdot\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b: Để A là số nguyên thì \(\sqrt{x}-1⋮\sqrt{x}+1\)
=>\(\sqrt{x}+1-2⋮\sqrt{x}+1\)
=>căn x+1 thuộc {1;2}
=>căn x thuộc {0;1}
mà x<>1
nên x=0