Question

[Nguyễn Thị Kim Tuyến]

Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

\(P=\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Mát]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :

\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)

Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :

\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)

Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)