Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 2000 số nguyên dương đã cho không có 2 số nào bằng nhau
\(a_1>a_2>a_3>...>a_{2000}\ge1\)
Khi đó ta có :
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2000}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2000}=8,1783...< 12\)
( Mâu thuẫn giả thiết )
Vậy trong 2000 số nguyên dương đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau.
\(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)y+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)z\)
(*)Ta cần CM bất đẳng thức sau: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Nhân ab vào 2 vế,ta được:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>BĐT đúng với mọi a;b
Tương tự,ta cũng có: \(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
Do đó \(S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\left(đpcm\right)\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_8}{a_9}=\frac{a_9}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_8+a_9}{a_2+a_3+...+a_9+a_1}=1\)
\(\Rightarrow a_1=a_2=...=a_9\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_8}{a_9}=\frac{a_9}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_8+a_9}{a_2+a_3+..+a_9+a_1}=1\)
=> \(\frac{a_1}{a_2}=1\Rightarrow a_1=a_2\)
\(\frac{a_2}{a_3}=1\Rightarrow a_2=a_3\)
.....
\(\frac{a_8}{a_9}=1\Rightarrow a_8=a_9\)
\(\frac{a_9}{a_1}=1\Rightarrow a_9=a_1\)
=> \(a_1=a_2=..a_9\)
Giả sử trong 2016 số này khác nhau từng đôi 1 ta có
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8}\)(2009 số \(\frac{1}{8}\))
\(=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{7}+\frac{2009}{8}\)
\(=\frac{363}{140}+\frac{2009}{8}\approx253,72< 300\)
Vậy trong 2016 số đã cho tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
Có vẻ thiếu cái gì đó. khi có hai số bằng nhau rồi. g/s là a2015=a2016
Liệu P trình : 1/a1+...+1/a2015=B có tồn tại Nghiệm nguyên