Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
+) Cứ mỗi bước xóa 2 số thêm 1 số nghĩa là sẽ mất đi một số. Thực hiện 2019 lần theo quy tắc trên thì sẽ còn lại duy nhất 1 số
+) Dễ thấy trong 2020 phân số trên có số 1010/2020 = 1/2
+) Khi các em xóa đến một số bất kì x khác 1/2 thuộc dãy 2020 phân số đó và số 1/2 thì số mới xuất hiện sẽ là: 1/2 + x - 2.1/2 .x = 1/2
Như vậy các e xóa đủ 2019 lần thì vẫn chỉ còn số 1/2
Ta gọi phép thay thế hai số \(a , b\) thành \(a + b - 2 a b\) là một phép toán \(\star\). Xét biểu thức:
\(a \star b = a + b - 2 a b\)
Ta biến đổi:
\(1 - \left(\right. a \star b \left.\right) = 1 - a - b + 2 a b = \left(\right. 1 - a \left.\right) \left(\right. 1 - b \left.\right)\)
Đặt \(A = 1 - x\), ta thấy rằng khi thực hiện phép toán, giá trị \(A\) mới bằng tích của hai giá trị \(A\) cũ. Do đó, tích các giá trị \(A = 1 - x\) là một đại lượng bất biến trong toàn bộ quá trình.
Ban đầu, dãy số gồm:
\(\frac{1}{2020} , \frac{2}{2020} , \ldots , \frac{2020}{2020}\)
Tương ứng, các giá trị bất biến là:
\(1 - \frac{1}{2020} , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 1 - \frac{2020}{2020} = \frac{2019}{2020} , \&\text{nbsp}; \frac{2018}{2020} , \&\text{nbsp}; \ldots , \&\text{nbsp}; 0\)
Vì có một giá trị bằng 0, nên tích các giá trị bất biến ban đầu bằng 0. Do tích này không đổi, nên sau 2019 lần biến đổi, chỉ còn lại một số duy nhất \(x\), thỏa mãn:
\(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)
Kết luận: Số còn lại trên bảng là \(\boxed{1}\).