Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Định đi ngủ mà chợt nhớ lúc chiều có hứa là làm giúp chủ tus nên h phải làm =)))
a, - Để biểu thức trên được xác định thì : \(x^2+x+1\ne0\)
Mà \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Vậy biểu thức luôn được xác định với mọi x .
b, - Để biểu thức trên được xác định thì : \(4x^2+2x+3\ne0\)
Mà \(4x^2+2x+3=\) \(x^2+\frac{x}{2}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{11}{16}>0\)
Vậy biểu thức luôn được xác định với mọi x .
d, - Để biểu thức trên có nghĩa thì : \(3t^2-t+1\ne0\)
Mà \(3t^2-t+1=3\left(t^2-\frac{t}{3}+\frac{1}{3}\right)=3\left(\left(t-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{36}\right)>0\)
Vậy biểu thức luôn được xác định với mọi x .
*Áp dụng Cosi với x,y>0 ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(2\right)\)
Nhân (1),(2) có: \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)
**\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x^2+y^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=4\)
Có: \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\le4\)
Theo Cosi ta có: \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\left(\frac{2}{x+y}\right)^2\ge\left(\frac{2}{1}\right)^2=4\)
Áp dụng Cosi ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{8}\)(1)
Mà ta có ở trên: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}\ge2\)
Vậy Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4+4+2=10\)
Với x=y=1/2
\(\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}-\frac{34}{33}=\frac{-35t^3+97t^2-102t+96}{33\left(t+1\right)\left(2t^2+3\right)}=\frac{\left(2-t\right)\left(35t^2-27t+48\right)}{33\left(t+1\right)\left(2t^2+3\right)}\ge0\) \(\forall t\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{34}{33}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=2\)
cảm ơn bạn nhé !