Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\). Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Rightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}\)
\(\ge\sqrt{x}+\sqrt{5-x+2\sqrt{6-2x}}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}.\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x=3+2\sqrt{3x-x^2}\)
\(=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)(theo (*))
Do đó \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge1+\sqrt{2}\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\), đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị.
Ta có: \(2\sqrt{2}-1< \sqrt{5}\)
\(A^2=x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+yz+zx\right)=5+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\ge5\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{5}>2\sqrt{2}-1\Rightarrow A-2\sqrt{2}+1>0\)
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow0\le\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\ge2\sqrt{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-6=2\sqrt{2}A-6\)
\(\Rightarrow A^2\ge5+2\left(2\sqrt{2}A-6\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2-4\sqrt{2}A+7\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-2\sqrt{2}+1\right)\left(A-2\sqrt{2}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow A-2\sqrt{2}-1\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;2\right)\) và hoán vị
3,
đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}=a\\\sqrt{y^2+z^2}=b\\\sqrt{z^2+x^2}=c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=a^2\\y^2+z^2=b^2\\z^2+x^2=c^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\\y^2=\frac{b^2+a^2-c^2}{2}\\z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2\left(z+x\right)}+\frac{c^2+b^2-a^2}{2\left(x+y\right)}\)
áp dụng bunhia ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\\\left(y^2+z^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(y+z\right)^2\\\left(z^2+x^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(z+x\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a^2\ge\left(x+y\right)^2\\2b^2\ge\left(y+z\right)^2\\2c^2\ge\left(z+x\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\sqrt{2}a\ge x+y\\\sqrt{2}b\ge y+z\\\sqrt{2}c\ge z+x\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{a^2+c^2-b^2}{\sqrt{2}b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+b^2-a^2}{\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}-b+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}-c+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}-a\right)\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-a-b-c\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{6}{\sqrt{2}}\)
Ta có: \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)$;$\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=z=2\end{matrix}\right.;\left[{}\begin{matrix}x=z=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) có $GTNN$ của $A$ là \(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{1}=2\sqrt{2}+1\)
tương tự Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Nếu là tìm max thì làm như sau:
\(A=\sqrt{\dfrac{3}{5}}.\left(\sqrt{\dfrac{5}{3}.x}+\sqrt{\dfrac{5}{3}.y}+\sqrt{\dfrac{5}{3}.z}\right)\)
\(\le\sqrt{\dfrac{3}{5}}.\left(\dfrac{x+y+z+5}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{5}}.5=\sqrt{15}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{5}{3}\)
Đề phải là tìm max chứ?