Question

[lục nhất sinh]

BÀI 5 (1,5 điểm). Cho tam giác vuông tại có AB < AC. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.

        a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC

        b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF < AB; vẽ hình chữ nhật ACGF, BG cắt AC tại N.

        Chứng minh: 1/AC^2 =cot^2 CFB/GN^2 + 1/BG^2

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

Do D, E là hình chiếu của H lên AB, AC \(\Rightarrow\angle ADH=\angle AEH=90^0\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle A=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

\(\Rightarrow\angle ADE=\angle AHE\)

Mà \(\angle AHE=\angle ACB\) (cùng phụ ∠CAH)

\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ACB\)

Xét hai tam giác ADE và ACB có:

∠A là góc chung

∠ADE=∠ACB (cmt)

=>ΔADE∼ΔACB(g.g)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

b.

Do ACGF là hcn nên CG||AF =>∠CGN=∠GBF (so le trong)

\(\Rightarrow\cos\angle CGN=\cos\angle GBF\)

\(\Rightarrow\frac{CG}{GN}=\frac{BF}{BG}\)

Mà ACGF là hcn nên CG=AF \(\Rightarrow\frac{AF}{GN}=\frac{BF}{BG}\) (1)

Trong tam giác vuông BGF, áp dụng định lý Pitago:

\(GF^2+BF^2=BG^2\Rightarrow AC^2+BF^2=BG^2\) (do ACGF là hcn nên GF=AC)

\(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\left(\frac{BF}{BG}\right)^2=1\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\frac{AF^2}{GN^2}=1\Rightarrow\frac{1}{BG^2}+\frac{AF^2}{AC^2}\cdot\frac{1}{GN^2}=\frac{1}{AC^2}\)

Trong tam giác vuông ACF, ta có \(\cot CFB=\frac{AF}{AC}=>\frac{AF^2}{AC^2}=\cot^2CFB\)

\(\Rightarrow\frac{\cot^2CFB}{GN^2}+\frac{1}{BG^2}=\frac{1}{AC^2}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]