Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Do D, E là hình chiếu của H lên AB, AC \(\Rightarrow\angle ADH=\angle AEH=90^0\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle A=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
\(\Rightarrow\angle ADE=\angle AHE\)
Mà \(\angle AHE=\angle ACB\) (cùng phụ ∠CAH)
\(\Rightarrow\angle ADE=\angle ACB\)
Xét hai tam giác ADE và ACB có:
∠A là góc chung
∠ADE=∠ACB (cmt)
=>ΔADE∼ΔACB(g.g)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)
b.
Do ACGF là hcn nên CG||AF =>∠CGN=∠GBF (so le trong)
\(\Rightarrow\cos\angle CGN=\cos\angle GBF\)
\(\Rightarrow\frac{CG}{GN}=\frac{BF}{BG}\)
Mà ACGF là hcn nên CG=AF \(\Rightarrow\frac{AF}{GN}=\frac{BF}{BG}\) (1)
Trong tam giác vuông BGF, áp dụng định lý Pitago:
\(GF^2+BF^2=BG^2\Rightarrow AC^2+BF^2=BG^2\) (do ACGF là hcn nên GF=AC)
\(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\left(\frac{BF}{BG}\right)^2=1\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\frac{AC^2}{BG^2}+\frac{AF^2}{GN^2}=1\Rightarrow\frac{1}{BG^2}+\frac{AF^2}{AC^2}\cdot\frac{1}{GN^2}=\frac{1}{AC^2}\)
Trong tam giác vuông ACF, ta có \(\cot CFB=\frac{AF}{AC}=>\frac{AF^2}{AC^2}=\cot^2CFB\)
\(\Rightarrow\frac{\cot^2CFB}{GN^2}+\frac{1}{BG^2}=\frac{1}{AC^2}\)
b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF
Ta có :
Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )
Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )
=> Góc AHQ = góc ADF
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên \(HQ//DF\)
Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q
=> \(DF\perp AB\)tại G
Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)
=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)
Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))
Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)
Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)
=> \(\overline{M,G,N}\)
Mà G là giao điểm của AB và DF
Nên MN,AB,DF đồng quy tại G
MN là đường thẳng simson nha bạn
A B C H E F
a) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABH; ACH và ABC
\(AB.BE=BH^2;AC.CF=CH^2\)
\(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\)
=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)
<=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE.AB}{CF.AC}=\frac{BH^2}{CH^2}\)
<=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH}{CH}=\frac{BH}{CH}\) đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng
b)
Ta có: \(AH^2=BH.CH\)
=> \(AH^4=BH^2.CH^2=BE.AB.CF.AC=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC\)
=> \(AH^3=BC.BE.CF\)
c)
Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông HFC
có: ^EBH =^FHC ( cùng phụ góc FCH)
=> Tam giác BEH đồng dạng tam giác HFC
=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{EH}{FC}\Rightarrow BE.FC=EH.FH\)
=> \(AH^3=BC.HE.HF\)
a,DoΔvuông AHC có:
AH2=AE.AC (1)
Δ vuông AHB có:
AH2=AD.AB (2)
Từ (1) và (2) :
AE.AC =AD.AB
b, Xest ΔAED và ΔABC có:
BAC^chung
AE.AC=AD.AB (câu a)
=> tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC ( c-g-c)
a) ΔABH vuông tại H có đường cao HD
=> AD.AB = AH2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
ΔAHC vuông tại H có đường cao HE
=> AE.AC = AH2 (Hệ thức lượng rong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) => AD.AB = AE.AC (=AH2)
câu b) bn tự làm nhé
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
Đề bài tóm tắt:
a) Chứng minh: \(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)
Phân tích:
Cách chứng minh:
\(A D = A H \cdot cot \left(\right. \angle H A B \left.\right)\)
Tương tự trong tam giác \(A H C\):
\(A E = A H \cdot cot \left(\right. \angle H A C \left.\right)\)
\(\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}\)
Suy ra:
\(A D \cdot A C = A E \cdot A B\)
Đổi vế thành:
\(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)
b) Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(F\) sao cho \(A F < A B\); vẽ hình chữ nhật \(A C G F\), \(B G\)cắt \(A C\) tại \(N\).
Yêu cầu: Chứng minh ...