Question

[Nguyễn Thị Hạnh]

Bài 4. (2,5 điểm) Cho $(O; R)$ đường kính $AB$. Bán kính $CO$ vuông góc với $AB$, $M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $AC$ ($M$ khác $A$ và $C$), $MB$ cắt $AC$ tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

a) Chứng minh bốn điểm $C$, $B$, $H$, $K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $CA$ là phân giác góc $MCK$.

c) Kẻ $Ax$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại $A$. Lấy $P \in Ax$ sao cho $\dfrac{AP. MB}{MA} = R$

Chứng minh $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat{BCH}+\widehat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BCHK là tứ giác nội tiếp

=>B,C,H,K cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác AMHK có \(\widehat{AMH}+\widehat{AKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMHK là tứ giác nội tiếp

ta có: BCHK nội tiếp

=>\(\widehat{KCH}=\widehat{KBH}\)

=>\(\widehat{KCA}=\widehat{MBA}\)

mà \(\widehat{MBA}=\widehat{MCA}\)

nên \(\widehat{KCA}=\widehat{MCA}\)

=>CA là phân giác của góc MCK