Question

[Ngoc Bao]

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn
cùng phía với cung AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa
đường tròn Ax và By lần lượt tại C, D
a) Chứng minh tam giác COD đồng dạng với tam giác AMB
b) Chứng minh MC.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
c) Cho biết OC = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.

mn ơi giúp mik với ah, nếu đúng mik tick sao cho

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>ΔCOD vuông tại O

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác CMOA có \(\hat{CMO}+\hat{CAO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMOA là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{OCM}=\hat{OAM}\)

Xét ΔOCD vuông tại O và ΔMAB vuông tại M có

\(\hat{OCD}=\hat{MAB}\)

Do đó: ΔOCD~ΔMAB

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(MC\cdot MD=OM^2=R^2\) không đổi trên R

c: O là trung điểm của AB

=>\(OA=OB=\frac{AB}{2}=R\)

ΔOAC vuông tại A

=>\(OA^2+AC^2=OC^2\)

=>\(AC^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(AC=R\sqrt3\)

Ta có: \(AC\cdot BD=MC\cdot MD=R^2\)

=>\(BD=\frac{R^2}{R\sqrt3}=\frac{R}{\sqrt3}\)