Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a
Xét tam giác ABD và AMD có
AB = AM từ gt
Góc BAD = MAD vì AD phân giác BAM
AD chung
=> 2 tam guacs bằng nhau
Câu b
Ta có: Góc EMD bằng CMD vì góc ABD bằng AMD
Bd = bm vì 2 tam giác ở câu a bằng nhau
Góc BDE bằng MDC đối đỉnh
=> 2 tam giác bằng nhau
a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
AB=AC
\(\hat{DAB}\) chung
Do đó: ΔADB=ΔAEC
=>AD=AE
b: Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)
nên ED//BC
c: Xét ΔAEI vuông tại E và ΔADI vuông tại D có
AI chung
AE=AD
Do đó: ΔAEI=ΔADI
=>IE=ID
ΔADB=ΔAEC
=>DB=EC
Ta có: DB=DI+IB
EC=EI+IC
mà DB=EC và DI=EI
nên IB=IC
d: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra AI là đường trung trực của BC
=>AI⊥BC
Cho tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) với góc \(\angle A < 90^{\circ}\). Các đoạn \(B D\) và \(C E\) lần lượt vuông góc với các cạnh \(A C\) và \(A B\) tại các điểm \(D\) và \(E\). Dưới đây là các phần chứng minh cho từng câu hỏi.
a) Chứng minh tam giác \(A D E\) cân
Chúng ta có tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), tức là \(A B = A C\). Vì \(B D\) vuông góc với \(A C\) tại \(D\) và \(C E\)vuông góc với \(A B\) tại \(E\), ta cần chứng minh \(A D = A E\).
- Chứng minh: Xét tam giác vuông \(A B D\) và tam giác vuông \(A C E\):
- Vì \(A B = A C\) (do tam giác \(A B C\) cân tại \(A\)),
- \(\angle A B D = \angle A C E = 90^{\circ}\) (do \(B D\) vuông góc với \(A C\) và \(C E\) vuông góc với \(A B\)),
- \(A D = A E\) (chứng minh từ sự đối xứng của tam giác vuông đối với đường chéo \(A B = A C\)).
Vậy tam giác \(A D E\) là tam giác cân với \(A D = A E\).
b) Chứng minh \(D E \parallel B C\)
Để chứng minh \(D E \parallel B C\), ta sẽ sử dụng tính chất của các đường vuông góc trong tam giác vuông.
- Tam giác \(A B D\) vuông tại \(D\) và tam giác \(A C E\) vuông tại \(E\).
- Ta có \(B D \bot A C\) và \(C E \bot A B\), tức là \(B D \parallel C E\) vì chúng đều vuông góc với các đường thẳng liên tiếp trong tam giác vuông.
Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), \(A B = A C\), và ta cũng có \(D E\) nằm trong một mặt phẳng vuông góc với \(A B\) và \(A C\), do đó, ta có thể kết luận rằng \(D E \parallel B C\) theo tính chất đối xứng của tam giác vuông.
c) Chứng minh \(I B = I C\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(B D\) và \(C E\). Ta cần chứng minh rằng \(I B = I C\).
- Vì \(B D\) vuông góc với \(A C\) và \(C E\) vuông góc với \(A B\), ta thấy rằng điểm \(I\) là điểm trực tâm của tam giác vuông \(A B C\), nơi ba đường cao gặp nhau.
- Do tam giác \(A B C\) là tam giác vuông cân tại \(A\), trực tâm của tam giác này phải nằm trên đường phân giác của góc vuông, và do đó điểm \(I\) cách đều các cạnh của tam giác vuông.
Vì \(I\) là trực tâm của tam giác vuông cân \(A B C\), ta có \(I B = I C\).
d) Chứng minh \(A I \bot B C\)
Cuối cùng, ta cần chứng minh rằng \(A I \bot B C\).
- Ta biết rằng \(I\) là trực tâm của tam giác vuông \(A B C\), và đường cao từ \(A\) trong tam giác vuông cân \(A B C\)sẽ vuông góc với cạnh đối diện, tức là \(B C\).
- Vì \(I\) là trực tâm và \(A I\) là một trong các đường cao của tam giác vuông \(A B C\), nên \(A I \bot B C\).
Vậy, \(A I\) vuông góc với \(B C\).
Tóm tắt các chứng minh:
- a) Tam giác \(A D E\) là tam giác cân.
- b) \(D E \parallel B C\).
- c) \(I B = I C\).
- d) \(A I \bot B C\).
a)\(\widehat{C}=\widehat{BAH}=90^O-\widehat{CAH}\)
\(\widehat{B}=\widehat{CAH}=90^O-\widehat{BAH}\)
b)Ta có:
\(\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{BAD}=\widehat{B}+\frac{\widehat{BAH}}{2}=\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\)
Lại có:
\(\widehat{DAC}=180^O-\widehat{C}-\widehat{ADC}=180^O-\widehat{C}-\left(\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\right)=\left(90^O-\widehat{B}\right)-\frac{\widehat{C}}{2}+\left(90^O-\widehat{C}\right)\)
\(=\widehat{C}-\widehat{\frac{C}{2}}+\widehat{B}=\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}\)
Suy ra:\(\widehat{ADC}=\widehat{DAC}\)
\(\Rightarrow\Delta ADC\)cân tại C
c)\(DK\perp BC;AH\perp BC\Rightarrow DK//AH\)
\(\Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{DAH}\)(hai góc so le trong)
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{KDA}\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta KAD\)cân tại K
d)Xét \(\Delta CDK-\Delta CAK\)
\(\hept{\begin{cases}CD=CA\\KD=KA\\CA.chung\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta CDK=\Delta CAK\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
e)Xét\(\Delta AID-\Delta AHD\)
\(\hept{\begin{cases}AI=AH\\AD.chung\\\widehat{DAI}=\widehat{DAH}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}=90^O\)
\(\Rightarrow DI\perp AB.Mà.AC\perp AB\)
\(\Rightarrow DI//AC\)
(tự vẽ hình )
câu 4:
a) có AB2 + AC2 = 225
BC2 = 225
Pytago đảo => \(\Delta ABC\)vuông tại A
b) Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta MDC\)
MA = MD (gt)
BM = BC ( do M là trung điểm của BC )
\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )
=> \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\) (cgc)
c) vì \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\)
=> \(\hept{\begin{cases}AB=DC\\\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\end{cases}}\)
=> AB// DC
lại có AB \(\perp\)AC => DC \(\perp\)AC => \(\Delta KCD\)vuông tại C
Xét \(\Delta\) vuông ABK và \(\Delta\)vuông KCD:
AB =CD (cmt)
AK = KC ( do k là trung điểm của AC )
=> \(\Delta\)vuông AKB = \(\Delta\)vuông CKD (cc)
=> KB = KD
d. do KB = KD => \(\Delta KBD\)cân tại K
=> \(\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)(1)
có \(\Delta ADC\)vuông tại C => \(AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=15\)
=> MD = 7.5
mà MB = 7.5
=> MB = MD
=> \(\Delta MBD\)cân tại M
=> \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{KBD}-\widehat{MBD}=\widehat{KDB}-\widehat{MDB}\)hay \(\widehat{KBM}=\widehat{KDM}\)
Xét \(\Delta KBI\)và \(\Delta KDN\)có:
\(\widehat{KBI}=\widehat{KDN}\)(cmt)
\(\widehat{KBD}\)chung
KD =KB (cmt)
=> \(\Delta KBI\)= \(\Delta KDN\)(gcg)
=> KN =KI
=. đpcm
câu 5:
a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta MDC\):
MA=MD(gt)
MB=MC (M là trung điểm của BC)
\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )
=> \(\Delta BMA=\Delta CMD\)(cgc)
b) Xét \(\Delta\)vuông ABC
có AM là đường trung tuyến của tam giác
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\)mà \(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)(do M là trung điểm của BC )
=> AM = BM = MC
có MA =MD => AM = MD =MB =MC
=> BM +MC = AM +MD hay BC =AD
Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta DCA\)
AB =DC
AC chung
BC =DC
=> \(\Delta BAC\)= \(\Delta DCA\)(ccc)
c. Xét \(\Delta ABM\)
BM=AM
\(\widehat{ABM}\)= 600
=> đpcm
Bài 2:
a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có
BD chung
góc ABD=góc EBD
=>ΔBAD=ΔBED
b: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
=>ΔDAE cân tại D
c: ΔADB vuông tại A
=>AD<DB