Question

[Trần Thanh Phương]

Bài 1: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r thỏa mãn \(p^q+q^p=r\).

Bài 2: Tìm m, n tự nhiên thỏa mãn \(2^m+3^n\) là số chính phương.

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)

Bài 4: Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :

\(P=\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}\)

Bài 5: Cho \(n\) là số tự nhiên và \(d\) là ước nguyên dương của \(2n^2\). Chứng minh \(n^2+d\) không là số chính phương.

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y\)

Bài 7: Giả sử có các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\) thì tích \(abc⋮60\)

Bài 8: Tìm các cặp số nguyên dương \(\left(a;b\right)\) thỏa mãn \(a+b^2⋮a^2b-1\)

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \(\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{8}{73}\)

Bài 10: Tìm x; y nguyên thỏa mãn \(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)

Answer 1

[Lê Thị Thục Hiền]

Bài 3:( t chỉ làm bừa thôi)

Có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}=6\sqrt{55}\)

Vì x,y nguyên nên \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) đồng dạng với \(6\sqrt{55}\)

Vì \(\sqrt{x},\sqrt{y}\ge0\) nên có các trường hợp sau:

Tại: \(\sqrt{x}=0\) hay x=0 thì \(\sqrt{y}=6\sqrt{55}\) hay y=\(1980\)

\(\sqrt{x}=\sqrt{55}\) hay x=55thì \(\sqrt{y}=5\sqrt{55}\) hay y=1375

\(\sqrt{x}=2\sqrt{55}\) hay x=220 thì \(\sqrt{y}=4\sqrt{55}\) hay y=880

\(\sqrt{x}=3\sqrt{55}\) hay x=495 thì \(\sqrt{y}=3\sqrt{55}\) hay y=495

Tương tự như vậy ta cũng thu được các cặp (x,y) t/m (880,220),(1375,55),(1980,0)

Vậy pt có nghiệm (x,y)\(\in\)\(\left\{\left(0,1980\right),\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right),\left(880,220\right),\left(1375,55\right),\left(1980,0\right)\right\}\)

Answer 2

[Ngô Bá Hùng]

Bài 3:

Xét phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)

Vì x, y nguyên và x, y vai trò như nhau

Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) có dạng \(\sqrt{x}=a\sqrt{55},\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)

với \(a+b=6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\) hoặc

\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N,a\le b\right)\)

Vậy nghiệm nguyên dương cần tìm là:

\(\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right)\)