EQ
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
UK
8 tháng 10 2017
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
T
8 tháng 10 2019
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2019
\(a\sqrt{b}-b\sqrt{a}=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(7\sqrt{7}+3\sqrt{3}=\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(7-\sqrt{21}+3\right)=\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)\left(10-\sqrt{21}\right)\)
\(a\sqrt{a}-b\sqrt{b}=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)\)
\(1-a\sqrt{a}=\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)\)
\(x^2-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\)
\(\left(\sqrt{2}+1\right)^2-4\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\)
\(\left(\sqrt{5}+2\right)^2-8\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-2\right)^2\)
2 cái trên đều áp dụng HĐT \(\left(a+b\right)^2-4ab=\left(a-b\right)^2\)
\(5\sqrt{2}-2\sqrt{5}=\sqrt{10}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\)
Hình như thiếu điều kiện a;b;c không âm
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Tiếp tục dùng Cauchy: \(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}\)
Tương tự: \(bc+ca\ge2\sqrt{abc^2};ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\sqrt{a^2bc}+2\sqrt{ab^2c}+2\sqrt{abc^2}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{a^2bc}+\sqrt{ab^2c}+\sqrt{abc^2}=\sqrt{abc}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{abc}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.
\(\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
thiếu a;b;c k âm nhá
áp dụng bđt cosi ngược ta có:
\(\sqrt{bc}< =\frac{b+c}{2}\Rightarrow a\sqrt{bc}< =\frac{a\left(b+c\right)}{2}=\frac{ab+ac}{2}\)
tương tự \(b\sqrt{ac}< =\frac{ab+bc}{2};c\sqrt{ab}< =\frac{ac+bc}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}< =\frac{ab+ac}{2}+\frac{ab+bc}{2}+\frac{ac+bc}{2}\)
\(=\frac{ab+ac+ab+bc+ac+bc}{2}=\frac{2ab+2bc+2ac}{2}=ab+ac+bc\left(1\right)\)
\(2ab< =a^2+b^2;2bc< =b^2+c^2;2ac< =a^2+c^2\Rightarrow2ab+2bc+2ac< =\)
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2\Rightarrow ab+bc+ac< =a^2+b^2+c^2\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< =a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>=\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c