Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhanh nhất là sử dụng công thức tổng cấp số nhân với \(u_1=\frac{1}{2}\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\) , khỏi cần quy nạp mất thời gian:
\(S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\right)=1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\)
Câu 2:
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(=1-\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)})=\lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=1-0=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Hay ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều
Hoặc là bạn ghi đề sai hoặc là đáp án sai
Đầu tiên là \(\left(\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{3}\right)\) số dương đứng trước số âm thấy hơi kì
Thứ 2 là bạn chắc kí hiệu khoảng đoạn này chính xác chứ?
Từ đường tròn lượng giác ta thấy \(-\frac{\pi}{3}< cosx\le\frac{\pi}{3}\Rightarrow\frac{1}{2}\le y\le1\)
Hay \(y\in\left[\frac{1}{2};1\right]\)
1.
\(\Leftrightarrow2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}\left(cos^4\frac{x}{2}-sin^4\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow sinx\left(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}\right)\left(cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow sinx.cosx=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin2x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)
3.
ĐKXĐ: ...
\(\frac{1}{cosx}+\frac{1}{2sinx.cosx}=\frac{1}{2sinx.cosx.cos2x}\)
\(\Leftrightarrow2sinx.cos2x+cos2x=1\)
\(\Leftrightarrow2sinx.cos2x+1-2sin^2x=1\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(cos2x-sinx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^2x-sinx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-1\left(l\right)\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
23.
\(tan^2x\ge0\Rightarrow y\le2\)
\(y_{max}=2\) khi \(tanx=0\)
\(y_{min}\) không tồn tại
24.
\(-1\le cosx\le1\Rightarrow0< 1+cosx\le2\)
\(\Rightarrow y\ge\frac{1}{2}\)
\(y_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(cosx=1\)
\(y_{max}\) ko tồn tại
19.
\(y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\left(2sinxcosx\right)^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}sin^22x}\)
\(0\le sin^22x\le1\Rightarrow\frac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le\sqrt{5}\)
\(y_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) khi \(sin^22x=1\)
\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi \(sin^22x=0\)
21.
\(y=2sin^2x-\left(1-2sin^2x\right)=4sin^2x-1\)
\(0\le sin^2x\le1\Rightarrow-1\le y\le3\)
\(y_{min}=-1\) khi \(sin^2x=0\)
\(y_{max}=3\) khi \(sin^2x=1\)
\(A=\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right).....\left(1+\frac{1}{9999}\right)\)
\(=\frac{4}{3}.\frac{9}{8}.....\frac{10000}{9999}\)
\(=\frac{2.2}{1.3}.\frac{3.3}{2.4}.....\frac{100.100}{99.101}\)
\(=\frac{2.3.....100}{1.2.....99}.\frac{2.3.....100}{3.4.....101}\)
=\(=100.\frac{2}{101}=\frac{200}{101}\)
\(A=\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right).....\left(1+\frac{1}{9999}\right)\)
\(=\frac{4}{3}.\frac{9}{8}.\frac{16}{15}......\frac{10000}{9999}\)
\(=\frac{2.2}{1.3}.\frac{3.3}{2.4}.\frac{4.4}{3.5}.....\frac{100.100}{99.101}\)
\(=\frac{2.3.4....100}{1.2.3....99}.\frac{2.3.4.....100}{3.4.5.....101}\)
\(=100.\frac{2}{101}\)
\(=\frac{200}{101}\)