Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ ta có:
\(x\sqrt{2y-1}+y\sqrt{2x-1}=\sqrt{x}.\sqrt{2xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{2xy-y}\)
\(\le\frac{x+2xy-x}{2}+\frac{y+2xy-y}{2}=2xy\)
Dấu = xảy ra khi ...
a) ĐK: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Ta có: \(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}=2x-4\)
\(\Leftrightarrow \frac{(2x-1)-(x+1)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(x-2)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left(\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}-2\right)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-2=0\leftrightarrow x=2\\ \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}=2(*)\end{matrix}\right.\)
Đối với $(*)$:
Vì \(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}\geq \sqrt{\frac{1}{2}+1}>1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+1}}< 1\)
Do đó $(*)$ vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$
b) ĐK:.....
\(\sqrt{2x^2-3x+10}+\sqrt{2x^2-5x+4}=x+3\)
TH1:
\(\sqrt{2x^2-3x+10}=\sqrt{2x^2-5x+4}\)
\(\Rightarrow 2x^2-3x+10=2x^2-5x+4\)
\(\Rightarrow 2x+6=0\Rightarrow x=-3\) (thử lại thấy không thỏa mãn)
TH2: \(\sqrt{2x^2-3x+10}\neq \sqrt{2x^2-5x+4}\), tức là \(x\neq -3\)
PT ban đầu tương đương với:
\(\frac{(2x^2-3x+10)-(2x^2-5x+4)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(x+3)}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=x+3\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}}=1\) (do \(x\neq -3\) )
\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}-\sqrt{2x^2-5x+4}=2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2x^2-3x+10}=2+\sqrt{2x^2-5x+4}\)
Bình phương 2 vế:
\(2x^2-3x+10=4+2x^2-5x+4+4\sqrt{2x^2-5x+4}\)
\(\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{2x^2-5x+4}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2=4(2x^2-5x+4)\)
\(\Rightarrow 7x^2-22x+15=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{15}{7}\\ x=1\end{matrix}\right.\) (thử đều thấy t/m)
Vậy...........
a/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x^2-2x+25}\\b=\sqrt{x^2-2x+9}\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge\sqrt{24}\\b\ge\sqrt{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=\left(\sqrt{x^2-2x+25}\right)^2-\left(\sqrt{x^2-2x+9}\right)^2=25-9=16\)
Ta được hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\a^2-b^2=16\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\\left(a-b\right)\left(a+b\right)=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\a+b=\dfrac{16}{2}=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x+25}=5\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x^2-2x+25}+\sqrt{x^2-2x+9}=a+b=8\)
b.
Đặt \(\sqrt{n^2+91}=a\) \(\left(a\in N\right)\) \(\Rightarrow n^2+91=a^2\Rightarrow n^2-a^2=-91\)
\(\Rightarrow\left(n+a\right)\left(n-a\right)=-91\Rightarrow\) \(n+a\) và \(n-a\) là các ước nguyên của 91 \(=\left\{-91;-13;-7;-1;1;7;13;91\right\}\)
Mà \(n+a>0\Rightarrow n+a=\left\{1;7;13;91\right\}\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n+a=1\\n-a=-91\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-45< 0\\a=46\end{matrix}\right.\) loại
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}n+a=7\\n-a=-13\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-3< 0\\a=10\end{matrix}\right.\) loại
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}n+a=13\\n-a=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=3\\a=10\end{matrix}\right.\)
TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}n+a=91\\n-a=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=45\\a=46\end{matrix}\right.\)
Vậy \(n=3\) hoặc \(n=45\) thì \(\sqrt{n^2+91}\) là số tự nhiên