Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(3x^2-6x+4=3\left(x-1\right)^2+1>0;\forall x\) nên BPT tương đương:
\(\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
a/ Để tập nghiệm của BPT là R:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(m-1\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< \frac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>5\)
b/ Với \(m=4\) BPT có nghiệm (ktm)
Với \(m\ne4\) để BPT vô nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\Delta'=-7m^2+38m-15\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m\ge5\\m\le\frac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m\le\frac{3}{7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm