Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
chỉ cho bạn mẹo nhỏ là đăng từng câu một thôi, thế sẽ không khiến người giải cảm thấy chán
a ) \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=0\)
Do \(a^2\ge0;b^2\ge0;c^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\) ( * )
Thay * vào biểu thức M , ta được :
\(M=\left(0-1\right)^{1999}+0^{2000}+\left(0+1\right)^{2001}\)
\(=-1^{1999}+0+1^{2001}\)
\(=-1+0+1\)
\(=0\)
Vậy \(M=0\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ac}{abc}+\dfrac{ab}{abc}=\dfrac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc+ac+ab-1}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow bc+ac+ab-1=0\)
\(\Leftrightarrow bc+ac+ab=1\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow bc+ac+ab=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac+2ab=2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2ab=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(P=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\)
\(\Rightarrow P=1+1+1=3\)
Vậy \(P=3\)
Bài 1:
a) \(\left(2+x\right)\left(x^2-2x+4\right)-\left(3+x^2\right)x=14\) (1)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+8+x^3-2x^2+4x+\left(-3-x^2\right)x=14\)
\(\Leftrightarrow8+x^3-3x-x^3=17\)
\(\Leftrightarrow8-3x=14\)
\(\Leftrightarrow-3x=14-8\)
\(\Leftrightarrow-3x=6\)
\(\Leftrightarrow x=-2\)
Vậy tập nghiệm phương trình (1) là \(S=\left\{-2\right\}\)
b) \(\left(3x-5\right)\left(7-5x\right)-\left(5x+2\right)\left(2-3x\right)=4\) (2)
\(\Leftrightarrow21x-15x^2-35+25x-\left(10x-15x^2+4-6x\right)=4\)
\(\Leftrightarrow21x-15x^2-35+25x-\left(4x-15x^2+4\right)=4\)
\(\Leftrightarrow21x-15x^2-35+25x-4x+15x^2-4=4\)
\(\Leftrightarrow42x-39=4\)
\(\Leftrightarrow42x=4+39\)
\(\Leftrightarrow42x=43\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{42}\)
Vậy tập nghiệm phương trình (2) là \(S=\left\{\dfrac{43}{42}\right\}\)
Bài 2: tự làm đi :)))))))))))
Bài 3:
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)
\(=-5n⋮5\)
Vậy \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)⋮5\) (đpcm)
3. Ta có: n(2n - 3) - 2n(n+1) = 2n\(^{^2}\) - 3n - 2n\(^{^2}\) - 2n
= -5n
Mà -5n \(⋮\) 5
Vậy n(2n-3) - 2n(n+1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
Để (2^n-1);7 thì nó phải thuộc U(7) =1:-1;7;-7
| 2^n-1 | 1 | -1 | 7 | -7 |
| n | X | X | 3 | X |
Vậy n=3 thì (2^n-1);7
1/ Ta có: \(1999^{30}\equiv\left(1999^2\right)^{15}\equiv8^{15}\equiv\left(8^3\right)^5\equiv16^5\equiv1\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow\left(1999^{30}\right)^{66}\equiv1\left(mod31\right)\Leftrightarrow1999^{1980}\equiv1\left(mod31\right)\) (1)
Lại có: \(1999^{21}\equiv\left(1999^2\right)^{10}.1999\equiv8^{10}.15\equiv\left(8^5\right)^2.15\equiv15\left(mod31\right)\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1999^{1980}.1999^{21}\equiv15\Leftrightarrow1999^{2001}\equiv15\left(mod31\right)\)
Hay \(1999^{2001}\) chia cho 31 có số dư là 15.
P/s: Cả năm nay không làm dạng này nên không chắc nha! Lục nghề mất r
2) Khó đây, không chắc đâu. Mình thử dùng quy nạp:
Trước hết ta chứng minh nó với n = 1. Tức là chứng minh \(1924^{2003^{2004}}+1920⋮124\)
\(\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}+1920\equiv0\left(mod124\right)\)
Tách: 124 =4 . 31
Ta có: \(1924\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}\equiv0\left(mod4\right)\)
Lại có: \(1924^{30}\equiv1\left(mod31\right)\) (bạn tự chứng minh được mà:D)
Mà: \(2003^{2004}\equiv23^{2004}\equiv19^{1002}\equiv\left(19^2\right)^{501}\equiv1\left(mod30\right)\)
Đặt \(2003^{2004}=30k+1\). Do đó \(1924^{2003^{2004}}=1924^{30k+1}=\left(1924^{30}\right)^k.1924\equiv1.1924\equiv2\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2\equiv0\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2-31.2\equiv0\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod31\right)\)
Mà \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4\right)\)
Suy ra \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4.31=124\right)\)
Do đó: \(1924^{2003^{2004}}+1920\equiv64+1920\equiv0\left(mod124\right)\)
Vậy nó đúng trong trường hợp n = 1. Ta giả sử nó đúng đến n = k.
Tức là: \(1924^{2003^{2004^k}}+1920⋮124\)
Ta đi chứng minh: \(1924^{2003^{2004^{k+1}}}+1920⋮124\)
Tới đây bí cmnr:(