Question

[pham trung thanh]

\(Cho\)\(a;b;c>0\)\(.\)\(CMR\)\(:\)

\(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ca}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

[Nhok_baobinh]

Đặt \(A=abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)\)

Do a; b; c > 0 => A > 0

Giả sử \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4a^2c^2-c^4a^2b^2}{A}\ge0\)( tự quy đồng rồi rút gọn nhé, làm chi tiết dài lắm )

\(\Leftrightarrow\frac{2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-2a^4b^2c^2-2b^4a^2c^2-2c^4a^2b^2}{A}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2+b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2+c^2a^2\right)^2+\left(c^2a^2+a^2b^2\right)^2}{A}\ge0\)(đúng)

Vậy \(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ca+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(đpcm)

Answer 2

[Hoàng Đức Khải]

có ai còn cách khác ko cách này dài lắm