Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho (O;R). Dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thuộc tia đối tia BC. Từ A vẽ các tiếp tuyến AM, AN với (O).(M, N là tiếp điểm và M thuộc cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của BC. MI cắt (O) tại P

a) CM: NP//BC

b) OI cắt MN tại K. Tìm  vị tri của A để tam giác ONK có diện tích lớn nhất

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

O B C A M N I P K J F E

a) Ta thấy \(\widehat{CIP}=\widehat{MIA}\)   (Hai góc đối đỉnh)

Các tam giác vuông AMO, AIO và ANO có chung cạnh huyền AO nên A, M, I, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

\(\Rightarrow\widehat{MIA}=\widehat{MNA}\)    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA)

Mà \(\widehat{MNA}=\widehat{MPN}\)  (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn một cung)

\(\Rightarrow\widehat{CIP}=\widehat{MPN}\)

Chúng lại là hai góc so le trong nên BC // NP.

b) Gọi giao điểm của AO và MN là J, giao điểm của OK với NP là E.

Ta có theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(OA\perp MN\)

\(\Rightarrow\Delta AIO\sim\Delta KJO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AO}{KO}=\frac{OI}{OJ}\Rightarrow OA.OJ=OI.OK\)

Xét tam giác vuông OAM, đường cao MJ, áp dụng hệ thức lượng ta có:

OA.OJ = OM² = R²

\(\Rightarrow OK.OI=R^2\Rightarrow OK=\frac{R^2}{OI}=const\)

\(S_{ONK}=\frac{1}{2}.OK.NE\le\frac{1}{2}.OK.OF\)

Vậy diện tích tam giác ONK lớn nhất khi NE trùng với OF hay AF vuông góc BC hay BA = R.