Question

[Khang AN]

cho M=125 mũ 7 - 625 mũ 2 - 25 mũ 9. chứng minh rằng M chia hết cho 99

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

a cần chứng minh rằng \(M = 125^{7} - 625^{2} - 25^{9}\) chia hết cho 99.

Bước 1: Tách 99 thành thừa số nguyên tố

Ta có \(99 = 3 \times 33\), và 33 lại có thể phân tích thành \(33 = 3 \times 11\). Vậy \(99 = 3^{2} \times 11\). Để chứng minh \(M\) chia hết cho 99, ta sẽ chứng minh \(M\) chia hết cho cả 9 và 11.

Bước 2: Chứng minh \(M\) chia hết cho 9

Ta xét \(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\):

• \(125 \equiv 8 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\)
• \(625 \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\)
• \(25 \equiv 7 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\)

Vậy ta cần tính:

\(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = \left(\right. 125^{7} - 625^{2} - 25^{9} \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = \left(\right. 8^{7} - 4^{2} - 7^{9} \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\)

• \(8^{7} m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\): Vì \(8 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\), ta có \(8^{7} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{7} \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\).
• \(4^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = 7 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\).
• \(7^{9} m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\): Vì \(7^{3} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\), ta có \(7^{9} \equiv 1^{3} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\).

Vậy:

\(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = \left(\right. - 1 - 7 - 1 \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = - 9 m o d \textrm{ } \textrm{ } 9 = 0\)

Do đó, \(M\) chia hết cho 9.

Bước 3: Chứng minh \(M\) chia hết cho 11

Ta xét \(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\):

• \(125 \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\)
• \(625 \equiv 9 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\)
• \(25 \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\)

Vậy ta cần tính:

\(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = \left(\right. 125^{7} - 625^{2} - 25^{9} \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = \left(\right. 4^{7} - 9^{2} - 3^{9} \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\)

• \(4^{7} m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\): Ta tính các lũy thừa của 4 mod 11:
  \(4^{1} \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 4^{2} \equiv 16 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 4^{3} \equiv 20 \equiv 9 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 4^{4} \equiv 36 \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 4^{5} \equiv 12 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11.\)
  Vậy \(4^{7} = 4^{5} \times 4^{2} \equiv 1 \times 5 = 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\).
• \(9^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = 81 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\).
• \(3^{9} m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\): Ta tính các lũy thừa của 3 mod 11:
  \(3^{1} \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 3^{2} \equiv 9 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 3^{3} \equiv 27 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 3^{4} \equiv 15 \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 , 3^{5} \equiv 12 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11.\)
  Vậy \(3^{9} = 3^{5} \times 3^{4} \equiv 1 \times 4 = 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\).

Vậy:

\(M m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = \left(\right. 5 - 4 - 4 \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = - 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11 = 8\)

Do đó, \(M ≢ 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 11\), tức là \(M\) không chia hết cho 11.

Kết luận:

Dựa trên phép tính trên, ta thấy rằng \(M\) chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 11, vì vậy \(M\) không chia hết cho 99.

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khảo