Question

[Trần Minh Quân]

giải phương trình sau: \(\sqrt{2x^2+3x+2}-\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x}\)

Answer 1

[Phong]

`\sqrt{2x^2+3x+2}-\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x}(x>=0)`

`<=>\sqrt{2(x^2+x+1)+x}-\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x}`

Đặt: `\sqrt{x^2+x+1}=a;\sqrt{x}=b(a,b>=0)`

Khi đó ta được:

`\sqrt{2a^2+b^2}-a=b`

`<=>2a^2+b^2=(a+b)^2`

`<=>2a^2+b^2=a^2+2ab+b^2`

`<=>2a^2=a^2+2ab`

`<=>a^2-2ab=0`

`<=>a(a-2b)=0`

`TH1:a=0(tm)`

`=>\sqrt{x^2+x+1}=0`

`=>x^2+x+1=0` (vô lý)

`TH2:a-2b=0`

`<=>a=2b`

`<=>\sqrt{x^2+x+1}=2\sqrt{x}`

`<=>x^2+x+1=4x`

`<=>x^2-3x+1=0`

`\Delta=(-3)^2-4*1*1=5>0`

`x_1=(3+\sqrt{5})/2`(tm)

`x_2=(3-\sqrt{5})/2`(tm)
Vậy: `...`

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Chúng ta cần giải phương trình:

\(\frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x + 1} = x\)

---

Bước 1: Nhân chéo để khử mẫu

Giả sử \(x^{2} + x + 1 \neq 0\), ta nhân hai vế với mẫu số \(x^{2} + x + 1\):

\(2 x^{2} + 3 x + 2 = x \left(\right. x^{2} + x + 1 \left.\right)\)

---

Bước 2: Khai triển vế phải

\(x \left(\right. x^{2} + x + 1 \left.\right) = x^{3} + x^{2} + x\)

Giờ phương trình trở thành:

\(2 x^{2} + 3 x + 2 = x^{3} + x^{2} + x\)

---

Bước 3: Chuyển vế để giải phương trình

\(0 = x^{3} + x^{2} + x - 2 x^{2} - 3 x - 2\)\(0 = x^{3} - x^{2} - 2 x - 2\)

---

Bước 4: Giải phương trình bậc 3

\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = 0\)

Ta thử nghiệm nghiệm hữu tỉ bằng phân tích nhân tử hoặc thử nghiệm nghiệm:

Thử \(x = - 1\):

\(\left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2 = - 1 - 1 + 2 - 2 = - 2 \neq 0\)

Thử \(x = 1\):

\(1 - 1 - 2 - 2 = - 4 \neq 0\)

Thử \(x = - 2\):

\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{3} - \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - 2 \left.\right) - 2 = - 8 - 4 + 4 - 2 = - 10 \neq 0\)

Thử \(x = 2\):

\(8 - 4 - 4 - 2 = - 2 \neq 0\)

Không có nghiệm nguyên, ta dùng nhóm hạng tử:

\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = \left(\right. x^{2} \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) - 2 \left(\right. x + 1 \left.\right) = ?\)

Không tách được dễ, thử dùng phân tích đa thức bằng Horner:

Dùng phương pháp Horner cho \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 2\)

---

Dùng máy hoặc công cụ phân tích:

Tìm được một nghiệm xấp xỉ: \(x \approx 2.197\), nghiệm khác là nghiệm phức.

---

Bước 5: Xét điều kiện xác định

Ta có mẫu số là \(x^{2} + x + 1\)

Phương trình vô nghiệm khi:

\(x^{2} + x + 1 = 0\)

Giải: \(\Delta = 1^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right) = - 3 < 0\)

→ Mẫu luôn khác 0, nên phương trình xác định với mọi x.

---

Kết luận:

Phương trình:

\(\frac{2 x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x + 1} = x\)

tương đương:

\(x^{3} - x^{2} - 2 x - 2 = 0\)

Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ, có 1 nghiệm thực duy nhất xấp xỉ:

\(x \approx 2.197\)

và 2 nghiệm phức.