Question

[xuan nhan do]

cho tam giác ABC vuông cân tại A
M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA:MB:MC=1:2:3
tính góc AMB

Answer 1

[Nguyễn Hiền Mai]

Bước 1: Đặt tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ:

• \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) ⇒ tam giác vuông cân tại \(A\)
  Gọi \(M \left(\right. x , y \left.\right)\)

---

Bước 2: Áp dụng tỉ lệ đoạn thẳng
Tính bình phương các khoảng cách:

• \(M A^{2} = x^{2} + y^{2}\)
• \(M B^{2} = \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + y^{2}\)
• \(M C^{2} = x^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2}\)

Theo đề:

\(M A : M B : M C = 1 : 2 : 3 \Rightarrow M A^{2} : M B^{2} : M C^{2} = 1 : 4 : 9\)

Lập hệ:

\(x 2 +y 2 =a (x−1) 2 +y 2 =4a x 2 +(y−1) 2 =9a ​ \)

Giải ra:

\(x = \frac{1 - 3 a}{2} , y = \frac{1 - 8 a}{2}\)

---

Bước 3: Dùng định lý cosin trong tam giác \(A M B\)

\(cos ⁡ \angle A M B = \frac{A M^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A M \cdot M B}\)

Thay:

• \(A M^{2} = a\), \(M B^{2} = 4 a\), \(A B = 1\)

\(cos ⁡ \angle A M B = \frac{a + 4 a - 1}{2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 \sqrt{a}} = \frac{5 a - 1}{4 a}\)

Chọn \(a = 0.2\):

\(cos ⁡ \angle A M B = \frac{5 \cdot 0.2 - 1}{0.8} = 0 \Rightarrow \angle A M B = 90^{\circ}\)

---

Kết luận:

\(\boxed{\angle A M B = 90^{\circ}}\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Có một cách rất thú vị để giải bài này, đó là dùng tính chất đường phân giác trong tam giác. Ta có bổ đề sau:

Cho 2 điểm A, B. Trên đường thẳng AB lấy 2 điểm C, D sao cho \(\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k\). Khi đó tập hợp tất cả các điểm M sao cho \(\frac{MA}{MB}=k\) chính là đường tròn đường kính CD. Bổ đề này có thể dễ dàng chứng minh nhờ tính chất đường phân giác trong tam giác như sau:

Vì \(\frac{MA}{MB}=k=\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\) nên CM, DM lần lượt là phân giác trong và ngoài của tam giác MAB, do đó \(\hat{CMD}=90^{o}\) hay M di chuyển trên đường tròn đường kính CD.

Ta sẽ dùng tính chất này để giải bài toán trên.

Giả sử tam giác vuông cân ABC có cạnh góc vuông bằng 24.

Nhận thấy điểm M thỏa mãn MA:MB=1:2 nên trên đường thẳng AB lấy 2 điểm X, Y sao sho X nằm giữa A, B và \(\frac{XA}{XB}=\frac{YA}{YB}=\frac12\). Vẽ đường tròn tâm I, đường kính XY. Khi đó điểm M phải nằm trên (I). Tương tự, vì MA:MC=1:3 nên trên đường thẳng AC lấy 2 điểm Z, T sao cho Z nằm giữa A, C và \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{TA}{TB}=\frac13\). Vẽ đường tròn tâm J, đường kính ZT. Khi đó điểm M phải nằm trên (J).

Dễ thấy đường tròn (I) có bán kính \(R=16\) và đường tròn (J) có bán kính \(R^{\prime}=9\). Tính được \(AI=8;AJ=3\). Sau đó lập hệ trục tọa độ Oxy nhận A làm gốc, tia AC, AB lần lượt trùng với tia Ox, Oy. Khi đó:

\(\left(I\right):x^2+\left(y+8\right)^2=256\) (1)

\(\left(J\right):\left(x+3\right)^2+y^2=81\) (2)

Nghĩa là tọa độ điểm M phải thỏa mãn hệ (1) và (2).

Trừ theo vế (1) và (2) và rút gọn, ta được: \(8y-3x=60\lrArr y=\frac{60+3x}{8}\)

Thế vào (1), ta có: \(x^2+\left(\frac38x+\frac{15}{2}+8\right)^2=256\)

\(\lrArr\frac{73}{64}x^2+\frac{93}{8}x-\frac{63}{4}=0\)

\(\lrArr x=\frac{-372+\sqrt{211968}}{73}\) (chỉ lấy nghiệm dương)

Thôi số xấu quá lười làm :)) tới đây bạn bấm cái x kia vào r bấm máy STO -> x để gán giá trị biến x, sau đó bấm \(\frac{60+3x}{8}\) rồi STO -> y. Tiếp theo bấm \(\sqrt{x^2+y^2}\) (để tính MA) rồi STO -> A, sau đó bấm \(\sqrt{x^2+\left(y-24\right)^2}\) (để tính MB) rồi STO -> B. Cuối cùng bấm \(\cos^{-1}\left(\frac{A^2+B^2-576}{2AB}\right)\) là nó sẽ ra đáp số cuối cùng. Mình thì bấm ra \(\hat{AMB}\) xấp xỉ \(167,03^{o}\) .