Bài 9 Tính tổng
S= \(\frac13+1+\frac53+\frac73+3+\ldots+\frac{101}{3}+\frac{103}{3}+35\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét biểu thức phụ : \(\frac{1}{\left(2n+3\right)\sqrt{2n+1}+\left(2n+1\right)\sqrt{2n+3}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left[\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{2\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}-\frac{1}{\sqrt{2n+3}}\right)\)với \(n\ge1\)
Áp dụng : \(S=\frac{1}{3\sqrt{1}+1\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{7}+7\sqrt{5}}+...+\frac{1}{101\sqrt{103}+103\sqrt{101}}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)+...+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{101}}-\frac{1}{\sqrt{103}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{101}}-\frac{1}{\sqrt{103}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{103}}\right)\)
\(=\dfrac{7}{103}-\dfrac{9}{101}+2023-\dfrac{7}{103}-\dfrac{9}{101}-2023=-\dfrac{18}{101}\)
ta có
\(\frac{1}{300}< \frac{1}{101}\); \(\frac{1}{300}< \frac{1}{102}\); \(\frac{1}{300}< \frac{1}{102}\)....\(\frac{1}{300}< \frac{1}{299}\)
\(\frac{1}{300}+\frac{1}{300}+\frac{1}{300}+...+\frac{1}{300}< \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}\)
\(\frac{200}{300}< \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\text{}\text{}\)
rút gọn là xong
Cộng 1 vào từng phân số ta sẽ đc
\(\frac{x+100}{99}+\frac{x+100}{98}+\frac{x+100}{97}=\frac{x+100}{101}+\frac{x+100}{102}+\frac{x+100}{103}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+100\right)\left(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}+\frac{1}{97}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}\right)=0\)
\(\Rightarrow x=-100\)
\(\frac{x+1}{99}+\frac{x+2}{98}+\frac{x+3}{97}=\frac{x-1}{101}+\frac{x-2}{102}+\frac{x-3}{103}\)
<=> \(\frac{x+1}{99}+1+\frac{x+2}{98}+1+\frac{x+3}{97}+1=\frac{x-1}{101}+1+\frac{x-2}{102}+1+\frac{x-3}{103}+1\)
<=> \(\frac{x+100}{99}+\frac{x+100}{98}+\frac{x+100}{97}=\frac{x+100}{101}+\frac{x+100}{102}+\frac{x+100}{103}\)
<=> \(\left(x+100\right)\left(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}+\frac{1}{97}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}\right)=0\)
<=> x + 100 = 0 (vì \(\left(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}+\frac{1}{97}-\frac{1}{101}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}\right)\ne0\))
<=> x = -100
Ta có biểu thức:
\(S = \frac{1}{3} + 1 + \frac{5}{3} + \frac{7}{3} + 3 + \hdots + \frac{101}{3} + \frac{103}{3} + 35\)
Đổi tất cả các số hạng về cùng mẫu số là 3:
\(S = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{5}{3} + \frac{7}{3} + \frac{9}{3} + \hdots + \frac{101}{3} + \frac{103}{3} + \frac{105}{3}\)
(Vì 35 = 105/3 nên ta thêm vào dãy)
Khi đó:
\(S = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \hdots + 105}{3}\)
Tử số là dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến 105. Đây là cấp số cộng với:
Số số hạng n trong dãy là:
\(105 = 1 + \left(\right. n - 1 \left.\right) \cdot 2 \Rightarrow \left(\right. n - 1 \left.\right) \cdot 2 = 104 \Rightarrow n = 53\)
Tổng của dãy tử số là:
\(T = \frac{n \left(\right. a + a_{n} \left.\right)}{2} = \frac{53 \cdot \left(\right. 1 + 105 \left.\right)}{2} = \frac{53 \cdot 106}{2} = 2809\)
Vậy tổng cần tính là:
\(S = \frac{2809}{3}\)
Kết luận: \(S = \frac{2809}{3}\)
Ta có biểu thức:
\(S = \frac{1}{3} + 1 + \frac{5}{3} + \frac{7}{3} + 3 + \hdots + \frac{101}{3} + \frac{103}{3} + 35\)
Đổi tất cả các số hạng về cùng mẫu số là 3:
\(S=\frac{1}{3}+\frac{3}{3}+\frac{5}{3}+\frac{7}{3}+\frac{9}{3}+\cdots+\frac{101}{3}+\frac{103}{3}+\frac{105}{3}\)
(Vì 35 = 105/3 nên ta thêm vào dãy)
Khi đó:
\(S=\frac{1+3+5+7+\cdots+105}{3}\)
Tử số là dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến 105. Đây là cấp số cộng với:
Số số hạng n trong dãy là:
\(105 = 1 + \left(\right. n - 1 \left.\right) \cdot 2 \Rightarrow \left(\right. n - 1 \left.\right) \cdot 2 = 104 \Rightarrow n = 53\)
Tổng của dãy tử số là:
\(T = \frac{n \left(\right. a + a_{n} \left.\right)}{2} = \frac{53 \cdot \left(\right. 1 + 105 \left.\right)}{2} = \frac{53 \cdot 106}{2} = 2809\)
Vậy tổng cần tính là:
\(S = \frac{2809}{3}\)
Kết luận: \(S = \frac{2809}{3}\)