Question

[Lê Thị Hướng]

Cho a;b;c là các số nguyên, chứng minh rằng |a - b|+|b - c|+|c - a| là số chẵn

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

TH1: a,b,c cùng là số chẵn

=>a-b chẵn; b-c chẵn; c-a chẵn

=>|a-b| chẵn; |b-c| chẵn; |c-a| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(1)

TH2: a,b,c cùng là số lẻ

=>a-b chẵn; b-c chẵn; c-a chẵn

=>|a-b| chẵn; |b-c| chẵn; |c-a| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(2)

TH3: a lẻ; b chẵn; c chẵn

=>a-b lẻ; a-c lẻ; b-c chẵn

=>|a-b| lẻ; |a-c| lẻ; |b-c| chẵn

=>|a-b|+|a-c| chẵn; |b-c| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(3)

TH4: a chẵn; b lẻ; c chẵn

=>a-b lẻ;b-c lẻ; a-c chẵn

=>|a-b| lẻ; |b-c| lẻ; |a-c| chẵn

=>|a-b|+|b-c| chẵn; |a-c| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(4)

TH5: a chẵn; b chẵn; c lẻ

=>a-b chẵn; c-a lẻ; b-c lẻ

=>|a-b| chẵn; |c-a| lẻ; |b-c| lẻ

=>|c-a|+|b-c| chẵn; |a-b| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(5)

TH6: a lẻ; b lẻ; c chẵn

=>a-b chẵn; c-a lẻ; b-c lẻ

=>|a-b| chẵn; |c-a| lẻ; |b-c| lẻ

=>|a-b| chẵn; |c-a|+|b-c| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(6)

TH7: a lẻ; b chẵn; c lẻ

=>a-b lẻ; b-c lẻ; c-a chẵn

=>|a-b| lẻ; |b-c| lẻ; |c-a| chẵn

=>|a-b|+|b-c| chẵn; |c-a| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(7)

TH8: a chẵn; b lẻ; c lẻ

=>a-b lẻ; b-c chẵn; c-a lẻ

=>|a-b| lẻ; |b-c| chẵn; |c-a| lẻ

=>|a-b|+|c-a| chẵn; |b-c| chẵn

=>\(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn(8)

Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8) suy ra với a,b,c là các số nguyên, \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) luôn là số chẵn

Answer 2

[Nguyễn Phú Thành]

Ta xét các trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: \(a , b , c\) cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
2. • Nếu \(a , b , c\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì \(a - b , b - c , c - a\) đều là số chẵn.
   • Khi đó, \(\mid a - b \mid , \mid b - c \mid , \mid c - a \mid\) đều là số chẵn.
   • Vậy, \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) là tổng của ba số chẵn, do đó là số chẵn.
3. Trường hợp 2: Trong ba số \(a , b , c\) có hai số cùng tính chẵn lẻ, số còn lại khác tính chẵn lẻ.
4. • Giả sử \(a , b\) cùng tính chẵn lẻ và \(c\) khác tính chẵn lẻ so với \(a\) và \(b\).
   • Khi đó, \(a - b\) là số chẵn, \(b - c\) và \(c - a\) là các số lẻ.
   • Vậy \(\mid a - b \mid\) là số chẵn, \(\mid b - c \mid\) và \(\mid c - a \mid\) là các số lẻ.
   • Do đó, \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) là tổng của một số chẵn và hai số lẻ, nên là số chẵn.
5. Trường hợp 3: \(a , b , c\) đôi một khác tính chẵn lẻ.
6. • Khi đó, \(a - b , b - c , c - a\) đều là số lẻ.
   • Vậy \(\mid a - b \mid , \mid b - c \mid , \mid c - a \mid\) đều là số lẻ.
   • Do đó, \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) là tổng của ba số lẻ, nên là số lẻ.

Tuy nhiên, ta có một cách chứng minh khác đơn giản hơn như sau: Ta có:\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = \mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid a - c \mid\)Xét \(S = \left(\right. a - b \left.\right) + \left(\right. b - c \left.\right) + \left(\right. c - a \left.\right) = 0\), là số chẵn. Ta có \(\left(\right. a - b \left.\right)\) và \(\mid a - b \mid\) cùng tính chẵn lẻ. Tương tự với \(\left(\right. b - c \left.\right)\) và \(\left(\right. c - a \left.\right)\). Suy ra, \(\left(\right. a - b \left.\right) + \left(\right. b - c \left.\right) + \left(\right. c - a \left.\right)\) và \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) cùng tính chẵn lẻ. Vì \(\left(\right. a - b \left.\right) + \left(\right. b - c \left.\right) + \left(\right. c - a \left.\right) = 0\) là số chẵn, nên \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) cũng là số chẵn. Vậy, \(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid\) luôn là số chẵn với mọi số nguyên \(a , b , c\).