Question

[Lê Phúc Trinh]

tìm snt p biết: \(5^{2p}+2013=\left(5^{2p}\right)^2+q^2\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Sen]

Bước 1: Đặt ẩn

Gọi \(a = 5^{2 p}\). Khi đó phương trình trở thành:

\(a + 2013 = a^{2} + q^{2}\)

Chuyển vế:

\(a + 2013 - a^{2} = q^{2} \Rightarrow - a^{2} + a + 2013 = q^{2} \Rightarrow q^{2} = - a^{2} + a + 2013\)

Ta cần tìm số nguyên tố \(p\), sao cho biểu thức vế phải là một số chính phương (vì bằng \(q^{2}\)).

---

Bước 2: Thử với một số giá trị nhỏ của \(p\) nguyên tố

Thử \(p = 2\):

• \(5^{2 p} = 5^{4} = 625\)
• Thay vào:

\(q^{2} = - 625^{2} + 625 + 2013 = - 390625 + 625 + 2013 = - 387987 \Rightarrow \text{Kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\)

Thử \(p = 3\):

• \(5^{2 p} = 5^{6} = 15625\)
• Thay vào:

\(q^{2} = - 15625^{2} + 15625 + 2013 = - 244140625 + 15625 + 2013 = - 244123987 \Rightarrow \text{Kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\)

Thử \(p = 1\):

• \(5^{2 p} = 25\)
• Thay vào:

\(q^{2} = - 25^{2} + 25 + 2013 = - 625 + 25 + 2013 = 1413 \Rightarrow \text{Kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\)

Thử \(p = 0\) (không phải số nguyên tố) → bỏ qua

Thử \(p = 5\):

• \(5^{2 p} = 5^{10} = 9765625\)
• \(q^{2} = - 9765625^{2} + 9765625 + 2013\) → quá lớn, chắc chắn là âm.

---

Bước 3: Quan sát tổng quát

\(q^{2} = - a^{2} + a + 2013 \Rightarrow \text{v} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{\sim}{\text{e}} \&\text{nbsp}; \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp}; a \&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n} \Rightarrow \text{Ta}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp}; a = 5^{2 p} \&\text{nbsp};\text{nh}ỏ \Rightarrow \text{Ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{th}ử\&\text{nbsp}; p = 1 , 2 , 3\)

Như trên, các giá trị này đều không cho kết quả \(q^{2}\) là số chính phương.

---

✅ Kết luận:

Không tồn tại số nguyên tố \(p\) nào thỏa mãn:

\(5^{2 p} + 2013 = \left(\right. 5^{2 p} \left.\right)^{2} + q^{2}\)

Do vế trái tăng theo \(5^{2 p}\), còn vế phải tăng nhanh hơn nhiều (bậc 2), hiệu số luôn âm hoặc không là chính phương.

Answer 2

[Nguyễn Thị Sen]

bạn xóa cho mình mấy chữ npsd nhé

Chúc bạn học tốt!