Cho \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\) . tính biểu thức A
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 7 2016
a) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{c+a}{b}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
- TH1: Nếu a + b + c = 0 \(\Rightarrow P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=\frac{-\left(abc\right)}{abc}=-1\)
- TH2 : Nếu \(a+b+c\ne0\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
b) Đề bài sai ^^
6 tháng 11 2019
Đặt \(M=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\)
Ta có \(M.\frac{c}{a-b}=1+\frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\)
\(=1+\frac{c}{a-b}.\frac{b^2-bc+ca-a^2}{ab}\)
\(=1+\frac{c}{a-b}.\frac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}=1+\frac{2c^2}{ab}\)
Tương tự : \(M.\frac{a}{b-c}=1+\frac{2a^2}{bc};M.\frac{b}{c-a}=1+\frac{2b^2}{ca}\)
Do vậy \(A=3+2.\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=9\left(do.a+b+c=0.thi.a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)
N
1 tháng 9 2019
Dat \(\hept{\begin{cases}A=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\\B=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Ta co:\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2+2+2=6\left(1\right)\)
\(B=\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Cong ve voi ve cua (1) va (2) ta duoc:
\(P=A+B\ge6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
2T
1 tháng 9 2019
Chứng minh ĐBT:\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\left(a,b\ne0\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\ge2\)
\(\frac{a+c}{b}+\frac{b}{c+a}\ge2\)
\(\frac{a+b}{c}+\frac{c}{b+a}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Vậy \(P_{min}=6\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{cases}}\)
28 tháng 2 2018
đề bài thiếu nhé , a,b,c khác nhau nhé :)
có :\(a=b-c\)
vì a,b,c khác nhau
\(\Rightarrow b-c\ne0\)
có:
\(a+b+c=0\Leftrightarrow c=a-b.\)
\(a=b-c\)
\(b=c-a\)
thày vào M ta được
\(\left(\frac{c}{c}+\frac{a}{a}+\frac{b}{b}\right)\left(\frac{c}{c}+\frac{a}{a}+\frac{b}{b}\right)=9\)
14 tháng 1 2018
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
13 tháng 1 2018
Có :
Q = a.(a/b+c) + b.(b/c+a) + c.(c/a+b)
= a.(a/b+c + 1) + b.(b/c+a + 1) + c.(c/a+b + 1) - (a+b+c)
= a.(a+b+c)/b+c + b.(a+b+c)/c+a + c.(a+b+c)/a+b - (a+b+c)
= (a+b+c).(a/b+c + b/c+a + c/a+b) - (a+b+c)
= (a+b+c)-(a+b+c) = 0
Vậy Q = 0
Tk mk nha
BT
21 tháng 3 2018
Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
=> b+c=2a; c+a=2b; a+b=2c
=> \(B=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
=> \(B=\frac{3}{2}\)
21 tháng 3 2018
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Ta có \(\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow b+c=2a\)
\(\frac{b}{c+a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow c+a=2b\)
\(\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=2c\)
Lại có :
\(B=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(B=\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2c}\)
\(B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(B=\frac{3}{2}\)
16 tháng 10 2020
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(...=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)( a, b, c khác 0 )
=> \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=1\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{cases}}\)
Thế vào P ta được :
\(P=\frac{2c}{a}\cdot\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{c}=\frac{8abc}{abc}=8\)
T
18 tháng 2 2018
Ta có: \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\left(ĐK:a+b+c+d\ne0\right)\)
Cộng 1 và mỗi đẳng thức. Ta có:
\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Vì các tử số của mỗi tỉ số bằng nhau suy ra các mẫu số của mỗi tỉ số bằng nhau
+ Suy ra: \(b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
=> a = b = c = d
\(M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow M=1+1+1+1=4\)
18 tháng 2 2018
Xét a+b+c+d=0=>a+b=-(c+d) ;b+c=-(a+d); c+d=-(a+b);d+a=-(a+c)
=>M=a+b/c+d+b+c/a+d+c+d/a+b+d+a/b+c=-1+(-1)+(-1)+(-1)=-4(*)
Xét a+b+c+d khác 0=>a=b=c=d
=>M=a+b/c+d+b+c/a+d+c+d/a+b+d+a/b+c=1+1+1+1=4
Cho xin like ạ