Question

[Đỗ Ngọc Tuệ Linh]

H=(1-10/6x3)x(1-10/7x4)x(1-10/8x5)x...x(1-10/20x17)

đề bài là tính nhanh nhé

Answer 1

[Gia Bao]

1. Bài toán tính nhanh: Để tính nhanh biểu thức \(H\), ta cần tìm ra quy luật của dãy số. \(H = \left(\right. 1 - \frac{10}{6 \times 3} \left.\right) \times \left(\right. 1 - \frac{10}{7 \times 4} \left.\right) \times \left(\right. 1 - \frac{10}{8 \times 5} \left.\right) \times \hdots \times \left(\right. 1 - \frac{10}{20 \times 17} \left.\right)\) Ta có thể viết lại mỗi số hạng trong tích như sau: \(1 - \frac{10}{\left(\right. n + 5 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{\left(\right. n + 5 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right) - 10}{\left(\right. n + 5 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{n^{2} + 7 n + 10 - 10}{\left(\right. n + 5 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{n \left(\right. n + 7 \left.\right)}{\left(\right. n + 5 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right)}\) Vậy tích \(H\) có thể viết lại thành: \(H = \frac{1 \left(\right. 1 + 7 \left.\right)}{\left(\right. 1 + 5 \left.\right) \left(\right. 1 + 2 \left.\right)} \times \frac{2 \left(\right. 2 + 7 \left.\right)}{\left(\right. 2 + 5 \left.\right) \left(\right. 2 + 2 \left.\right)} \times \frac{3 \left(\right. 3 + 7 \left.\right)}{\left(\right. 3 + 5 \left.\right) \left(\right. 3 + 2 \left.\right)} \times \hdots \times \frac{15 \left(\right. 15 + 7 \left.\right)}{\left(\right. 15 + 5 \left.\right) \left(\right. 15 + 2 \left.\right)}\) \(H = \frac{1 \times 8}{6 \times 3} \times \frac{2 \times 9}{7 \times 4} \times \frac{3 \times 10}{8 \times 5} \times \hdots \times \frac{15 \times 22}{20 \times 17}\) Ta thấy rằng có thể rút gọn các số hạng liên tiếp nhau. Hãy viết rõ hơn để thấy rõ quy luật: \(H = \frac{1 \times 2 \times 3 \times \hdots \times 15}{3 \times 4 \times 5 \times \hdots \times 17} \times \frac{8 \times 9 \times 10 \times \hdots \times 22}{6 \times 7 \times 8 \times \hdots \times 20}\) \(H = \frac{1 \times 2}{16 \times 17} \times \frac{21 \times 22}{6 \times 7}\) \(H = \frac{2}{16 \times 17} \times \frac{21 \times 22}{6 \times 7} = \frac{1}{8 \times 17} \times \frac{3 \times 22}{1} = \frac{1}{8 \times 17} \times 3 \times 22 = \frac{3 \times 11}{4 \times 17} = \frac{33}{68}\) Vậy \(H = \frac{33}{68}\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Dãy số này có công thức chung là \(1-\frac{10}{a\times\left(a+3\right)}=\frac{a\times\left(a+3\right)-10}{a\times\left(a+3\right)}=\frac{a\times a+3\times a-10}{a\times\left(a+3\right)}\)

\(=\frac{a\times a+5\times a-2\times a-10}{a\times\left(a+3\right)}=\frac{a\times\left(a+5\right)-2\times\left(a+5\right)}{a\times\left(a+3\right)}=\frac{\left(a+5\right)\times\left(a-2\right)}{a\times\left(a+3\right)}\)

\(H=\left(1-\frac{10}{3\times6}\right)\times\left(1-\frac{10}{4\times7}\right)\times\ldots\times\left(1-\frac{10}{17\times20}\right)\)

\(=\frac{\left(3+5\right)\times\left(3-2\right)}{3\times\left(3+3\right)}\times\frac{\left(4+5\right)\times\left(4-2\right)}{4\times\left(4+3\right)}\times\ldots\times\frac{\left(17+5\right)\times\left(17-2\right)}{17\times\left(17+3\right)}\)

\(=\frac{8\times9\times...\times22}{3\times4\times\ldots\times17}\times\frac{1\times2\times\ldots\times15}{6\times7\times\ldots\times20}\)

\(=\frac{18\times19\times20\times21\times22}{3\times4\times5\times6\times7}\times\frac{1\times2\times3\times4\times5}{16\times17\times18\times19\times20}\)

\(=\frac{1\times2}{6\times7}\times\frac{21\times22}{16\times17}=\frac{1}{3\times7}\times21\times\frac{22}{16\times17}=\frac{22}{16\times17}=\frac{11}{8\times17}=\frac{11}{136}\)