Question

[Hoàng Minh]

cho a+b+c=3 và 0<=a,b,c<=3.tìm min K=a*sqrt(3+bc)+b*sqrt(3+ca)+c*sqrt(3+ab)

Answer 1

[Gia Bao]

Bài 2: Cho \(a + b + c = 3\) và \(0 \leq a , b , c \leq 3\). Tìm min \(K = a \sqrt{3 + b c} + b \sqrt{3 + c a} + c \sqrt{3 + a b}\) Giải: Vì \(a + b + c = 3\), ta có thể viết \(3 = a + b + c\). Thay vào biểu thức K: \(K = a \sqrt{a + b + c + b c} + b \sqrt{a + b + c + c a} + c \sqrt{a + b + c + a b}\) \(K = a \sqrt{\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. c + 1 \left.\right)} + b \sqrt{\left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + 1 \left.\right)} + c \sqrt{\left(\right. c + a \left.\right) \left(\right. b + 1 \left.\right)}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(K \leq \sqrt{\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left[\right. \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. c + 1 \left.\right) + \left(\right. b + c \left.\right) \left(\right. a + 1 \left.\right) + \left(\right. c + a \left.\right) \left(\right. b + 1 \left.\right) \left]\right.}\) \(K \leq \sqrt{\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left(\right. a c + a + b c + b + a b + b + a c + c + b c + c + a b + a \left.\right)}\) \(K \leq \sqrt{\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) + 2 \left(\right. a + b + c \left.\right) \left]\right.}\) \(K \leq \sqrt{\left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) + 6 \left]\right.}\) Ta có \(\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\), suy ra \(9 = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\) Đặt \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = x\), thì \(2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = 9 - x\) \(K \leq \sqrt{x \left(\right. 9 - x + 6 \left.\right)} = \sqrt{x \left(\right. 15 - x \left.\right)}\) Xét hàm số \(f \left(\right. x \left.\right) = x \left(\right. 15 - x \left.\right) = 15 x - x^{2}\). Để tìm min của K, ta cần tìm min của f(x). Vì \(0 \leq a , b , c \leq 3\), ta có \(a^{2} , b^{2} , c^{2} \leq 9\). Vậy \(x = a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 27\). Ta cũng có \(x = a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}}{3} = \frac{9}{3} = 3\) Vậy \(3 \leq x \leq 27\). Để tìm min của \(f \left(\right. x \left.\right) = 15 x - x^{2}\), ta xét đạo hàm: \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 15 - 2 x\) \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) khi \(x = \frac{15}{2} = 7.5\) Vì \(f \left(\right. x \left.\right)\) là một parabol hướng xuống, min của f(x) sẽ đạt tại một trong hai đầu mút của khoảng [3, 27]. \(f \left(\right. 3 \left.\right) = 15 \left(\right. 3 \left.\right) - 3^{2} = 45 - 9 = 36\) \(f \left(\right. 27 \left.\right) = 15 \left(\right. 27 \left.\right) - 2 7^{2} = 405 - 729 = - 324\) Vì \(f \left(\right. x \left.\right) \geq 0\), ta xét trường hợp \(a = 3 , b = 0 , c = 0\) Khi đó \(K = 3 \sqrt{3 + 0} + 0 + 0 = 3 \sqrt{3}\) Vậy min \(K = 3 \sqrt{3}\) khi một trong các biến bằng 3 và các biến còn lại bằng 0.

Answer 2

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Olm chào em, câu hỏi của em đang bị lỗi công thức. Em vui lòng đăng lại câu hỏi bằng cách gõ trực tiếp lên cộng đồng Olm. Có như vậy mọi người mới hiểu đúng và đầy đủ câu hỏi của em, để trợ giúp em được tốt nhất. Cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm.