Question

[Khang Gia]

Tính giá trị B = x^15 - 8x^14 + 8x^3 - 8x^2 +..... - 8x² + 8x - 5 với x = 7

Answer 1

[Gia Bao]

Ta có đa thức

\(B = x^{15} - 8 x^{14} + 8 x^{13} - 8 x^{12} + \hdots + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 5 ,\)

tức là với \(n = 1 , 2 , \ldots , 14\) hệ số của \(x^{n}\) là alternation \(\pm 8\), và hệ số \(x^{15} = 1\), hệ số hằng \(- 5\).

1. Viết lại thành tổng hình học
   Gọi
   \(S = - x^{14} + x^{13} - x^{12} + \hdots + x - 0 = \sum_{k = 1}^{14} \left(\right. - 1 \left.\right)^{15 - k} x^{k} = x - x^{2} + x^{3} - \hdots - x^{14} .\)
   Khi đó
   \(B = x^{15} + 8 \textrm{ } S - 5.\)
2. Tính \(S\) dưới dạng tổng hình học
   Dãy \(a_{k} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} x^{k}\) là cấp số nhân với
   \(a_{1} = x , r = - x , n = 14.\)
   Do đó
   \(S = \sum_{k = 1}^{14} x \textrm{ } \left(\right. - x \left.\right)^{\textrm{ } k - 1} = x \textrm{ }\textrm{ } \frac{1 - \left(\right. - x \left.\right)^{14}}{1 - \left(\right. - x \left.\right)} = x \textrm{ }\textrm{ } \frac{1 - x^{14}}{1 + x} .\)
3. Thay \(x = 7\)
   \(S = 7 \textrm{ }\textrm{ } \frac{1 - 7^{14}}{1 + 7} = 7 \textrm{ }\textrm{ } \frac{1 - 7^{14}}{8} .\) \(B = 7^{15} + 8 \cdot S - 5 = 7^{15} + 8 \cdot \frac{7 \left(\right. 1 - 7^{14} \left.\right)}{8} - 5 = 7^{15} + 7 - 7^{15} - 5 = 2.\)

Vậy với \(x = 7\) thì \(B = 2\).

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

x=7 nên x+1=8

Sửa đề: \(B=x^{15}-8x^{14}+8x^{13}-8x^{12}+\cdots-8x^2+8x-5\)

\(=x^{15}-x^{14}\left(x+1\right)+x^{13}\left(x+1\right)-x^{12}\left(x+1\right)+\cdots-x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)+5\)

\(=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}+\cdots-x^3-x^2+x^2+x+5\)

=x+5

=7+5=12