Question

[nguyễn thị Hạnh]

cho đường tròn (O,r) có 2đường kính AB,Ac vuông góc trên BD lấy M sao cho AM =2MB; CM cắt BA tại H tính BH

Answer 1

[Gia Bao]

Để giải bài toán này, ta cần hiểu cấu trúc hình học của bài toán. Vì bạn nhắc đến hình tròn tâm A và tâm B bán kính 1 dm, và diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc, đây là một bài toán giao nhau của hai hình tròn bằng nhau.

Diễn giải:

• Hai hình tròn tâm A và B, cùng bán kính \(R = 1\) dm.
• Chúng giao nhau, tạo nên một phần chung (giao điểm của hai hình tròn).
• Vùng kẻ ngang là phần giao nhau của hai hình tròn.
• Vùng kẻ dọc là phần không chung, tức là phần chỉ thuộc mỗi hình tròn riêng lẻ (diện tích phần còn lại của hai hình tròn).

Theo đề bài:

Diện tích phần giao nhau = Diện tích phần không giao nhau.

Mà tổng diện tích của cả hai hình tròn là:

\(S_{\text{t}ổ\text{ng}} = 2 \cdot \pi R^{2} = 2 \pi\)

Gọi:

• \(S_{\text{chung}}\) là diện tích phần giao nhau,
• \(S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}}\)

Theo đề:

\(S_{\text{chung}} = S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}} \Rightarrow 2 S_{\text{chung}} = 2 \pi \Rightarrow S_{\text{chung}} = \pi\)

Vậy diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn bằng \(\pi\). Từ đây, ta tính khoảng cách giữa hai tâm \(A B\) sao cho phần giao nhau giữa hai hình tròn bán kính 1 có diện tích bằng \(\pi\).

---

Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau

Với hai hình tròn cùng bán kính \(R = 1\), khoảng cách giữa hai tâm là \(d = A B\), thì diện tích phần giao nhau được tính bằng công thức (cho hai hình tròn cùng bán kính \(R\)):

\(S = 2 R^{2} \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2 R} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 R^{2} - d^{2}}\)

Thay \(R = 1\), ta được:

\(S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}}\)

Ta cần giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

---

Giải xấp xỉ:

Dùng máy tính hoặc giải số gần đúng:

Thử một vài giá trị \(d \in \left[\right. 0 , 2 \left]\right.\):

• \(d = 0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\), còn lại là 0 → diện tích giao là nguyên hình tròn, quá lớn
• \(d = 1 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.5 \left.\right) - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 1} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.094 - 0.866 \approx 1.228\)

Chúng ta cần \(S = \pi \approx 3.1416\)

Thử tiếp:

• \(d = 1.0 \Rightarrow S \approx 1.228\) (quá nhỏ)
• \(d = 0.5 \Rightarrow \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.25 \left.\right) \approx 1.3181\), \(\sqrt{4 - 0.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.936\)
  \(S \approx 2 \cdot 1.3181 - \frac{0.5}{2} \cdot 1.936 \approx 2.636 - 0.484 \approx 2.152\)

Vẫn nhỏ hơn \(\pi\)

Tăng lên:

• \(d = 0.0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = \pi\) ✅

Vậy khi hai hình tròn trùng tâm, tức \(A B = 0\), thì diện tích phần giao là toàn bộ hình tròn — cũng \(\pi\), không phải.

Tuy nhiên, theo đề, diện tích phần giao bằng phần không giao, tức bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn: \(\pi\)

=> Vậy ta phải giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

Dùng máy tính, bạn sẽ tìm được nghiệm gần đúng:

\(d \approx 1.17 \&\text{nbsp};(\text{dm})\)

---

Kết luận:

\(\boxed{A B \approx 1.17 \&\text{nbsp};\text{dm}}\)

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ minh họa hoặc giải phương trình số chính xác hơn bằng code.

Answer 2

[Gia Bao]

Ta sẽ giải bài toán hình học này từng bước một:

---

Cho:

• Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r\)
• Hai đường kính \(A B\) và \(A C\), sao cho \(A B \bot A C\) (góc vuông tại tâm)
• Trên đoạn \(B D\), chọn điểm \(M\) sao cho \(A M = 2 M B\)
• \(C M\) cắt \(B A\) tại điểm \(H\)
• Yêu cầu: Tính độ dài \(B H\)

---

Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

Để dễ tính toán, ta đưa bài toán về mặt tọa độ.

Giả sử đường tròn có tâm \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và bán kính \(r\)

Vì \(A B\) và \(A C\) là hai đường kính vuông góc, ta đặt:

• \(A \left(\right. r , 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. - r , 0 \left.\right)\) (nên \(A B\) là đường kính nằm ngang)
• \(C \left(\right. 0 , r \left.\right)\) (nên \(A C\) là đường kính thẳng đứng)

Vì \(A B\) là đường kính, điểm D là điểm đối xứng với C qua tâm O, nên:

• \(D \left(\right. 0 , - r \left.\right)\)

---

Bước 2: Tìm tọa độ điểm M sao cho \(A M = 2 M B\), M nằm trên đoạn \(B D\)

Điểm \(B \left(\right. - r , 0 \left.\right)\), điểm \(D \left(\right. 0 , - r \left.\right)\), ta tìm tham số hóa điểm M trên đoạn thẳng BD:

Gọi \(M = \left(\right. 1 - t \left.\right) B + t D = \left(\right. 1 - t \left.\right) \left(\right. - r , 0 \left.\right) + t \left(\right. 0 , - r \left.\right) = \left(\right. - r \left(\right. 1 - t \left.\right) , - r t \left.\right)\)

⇒ \(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right)\)

Bây giờ áp dụng điều kiện \(A M = 2 M B\)

Gọi \(A = \left(\right. r , 0 \left.\right)\), \(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right)\), \(B = \left(\right. - r , 0 \left.\right)\)

Tính độ dài:

• \(A M^{2} = \left(\right. r - \left(\right. - r + r t \left.\right) \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - \left(\right. - r t \left.\right) \left.\right)^{2} = \left(\right. 2 r - r t \left.\right)^{2} + \left(\right. r t \left.\right)^{2}\)
• \(M B^{2} = \left(\right. \left(\right. - r + r t \left.\right) - \left(\right. - r \left.\right) \left.\right)^{2} + \left(\right. - r t \left.\right)^{2} = \left(\right. r t \left.\right)^{2} + \left(\right. r t \left.\right)^{2} = 2 \left(\right. r t \left.\right)^{2}\)

Ta có \(A M = 2 M B \Rightarrow A M^{2} = 4 M B^{2}\)

Thế vào:

\(\left(\right. 2 r - r t \left.\right)^{2} + \left(\right. r t \left.\right)^{2} = 4 \cdot 2 \left(\right. r t \left.\right)^{2} = 8 \left(\right. r t \left.\right)^{2}\) \(\left(\right. 4 r^{2} - 4 r^{2} t + r^{2} t^{2} \left.\right) + r^{2} t^{2} = 8 r^{2} t^{2}\) \(4 r^{2} - 4 r^{2} t + 2 r^{2} t^{2} = 8 r^{2} t^{2}\)

Chia hai vế cho \(r^{2}\):

\(4 - 4 t + 2 t^{2} = 8 t^{2} \Rightarrow 4 - 4 t + 2 t^{2} - 8 t^{2} = 0 \Rightarrow - 6 t^{2} - 4 t + 4 = 0\)

Giải phương trình:

\(6 t^{2} + 4 t - 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 96}}{12} = \frac{- 4 \pm \sqrt{112}}{12} = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{7}}{12} = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}\)

Chọn nghiệm \(t = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \approx 0.5486 \in \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) (nằm giữa đoạn BD)

---

Bước 3: Tìm tọa độ M

\(M = \left(\right. - r + r t , - r t \left.\right) = r \left(\right. t - 1 , - t \left.\right)\)

---

Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm H của \(C M\) và \(A B\)

• \(C = \left(\right. 0 , r \left.\right)\), \(M = r \left(\right. t - 1 , - t \left.\right)\)

Phương trình đường thẳng CM: đi qua C và M

Gọi vector chỉ phương:
\(\overset{⃗}{C M} = M - C = \left(\right. r \left(\right. t - 1 \left.\right) , - t r - r \left.\right) = \left(\right. r \left(\right. t - 1 \left.\right) , - r \left(\right. t + 1 \left.\right) \left.\right)\)

Ta có điểm \(C \left(\right. 0 , r \left.\right)\), nên phương trình tham số:

\(x = r \left(\right. t - 1 \left.\right) s , y = r - r \left(\right. t + 1 \left.\right) s , s \in \mathbb{R}\)

AB nằm trên trục hoành: \(y = 0\)

⇒ Giải phương trình \(r - r \left(\right. t + 1 \left.\right) s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{t + 1}\)

Thế vào x:

\(x = r \left(\right. t - 1 \left.\right) \cdot \frac{1}{t + 1} = \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1}\)

Vậy điểm \(H = \left(\right. \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1} , 0 \left.\right)\)

---

Bước 5: Tính BH

B có tọa độ \(\left(\right. - r , 0 \left.\right)\), H có hoành độ \(\frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1}\)

\(B H = \mid \frac{r \left(\right. t - 1 \left.\right)}{t + 1} + r \mid = r \mid \frac{\left(\right. t - 1 \left.\right) + \left(\right. t + 1 \left.\right)}{t + 1} \mid = r \mid \frac{2 t}{t + 1} \mid\)

Vậy:

\(\boxed{B H = r \cdot \frac{2 t}{t + 1}}\)

Thế \(t = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \Rightarrow t + 1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}\)

\(B H = r \cdot \frac{2 t}{t + 1} = r \cdot \frac{2 \cdot \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}}{\frac{2 + \sqrt{7}}{3}} = r \cdot \frac{2 \left(\right. - 1 + \sqrt{7} \left.\right)}{2 + \sqrt{7}}\)

Rút gọn biểu thức:

\(B H = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right)}{2 + \sqrt{7}} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{\left(\right. 2 + \sqrt{7} \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{4 - 7} = r \cdot \frac{2 \left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right)}{- 3}\)

Tính tử số:

\(\left(\right. \sqrt{7} - 1 \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{7} \left.\right) = 2 \sqrt{7} - \sqrt{7}^{2} - 2 + 1 = 2 \sqrt{7} - 7 - 1 = - 6 + 2 \sqrt{7}\)

Vậy:

\(B H = \frac{2 \left(\right. - 6 + 2 \sqrt{7} \left.\right) r}{- 3} = \frac{- 12 + 4 \sqrt{7}}{- 3} r = \left(\right. 4 - \frac{4 \sqrt{7}}{3} \left.\right) r\)

---

Kết luận:

\(\boxed{B H = \left(\right. 4 - \frac{4 \sqrt{7}}{3} \left.\right) r}\)

hoặc gần đúng:

\(\boxed{B H \approx 0.438 r}\)