Question

[trần ánh dương]

chứng tỏ rằng b=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{8^2}<1\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{8^2}<\frac{1}{7\cdot8}=\frac17-\frac18\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{8^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac17-\frac18\)

=>\(B<1-\frac18\)

=>B<1

Answer 2

[Gia Bao]

Bạn cần chứng minh:

\(b = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \ldots + \frac{1}{8^{2}} < 1\)

---

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính giá trị của b

Tính từng số hạng:

\(\frac{1}{2^{2}} & = \frac{1}{4} = 0 , 25 \\ \frac{1}{3^{2}} & = \frac{1}{9} \approx 0 , 1111 \\ \frac{1}{4^{2}} & = \frac{1}{16} = 0 , 0625 \\ \frac{1}{5^{2}} & = \frac{1}{25} = 0 , 04 \\ \frac{1}{6^{2}} & = \frac{1}{36} \approx 0 , 0278 \\ \frac{1}{7^{2}} & = \frac{1}{49} \approx 0 , 0204 \\ \frac{1}{8^{2}} & = \frac{1}{64} \approx 0 , 0156\)

Cộng lại:

\(b \approx 0 , 25 + 0 , 1111 + 0 , 0625 + 0 , 04 + 0 , 0278 + 0 , 0204 + 0 , 0156\) \(b \approx 0 , 25 + 0 , 1111 = 0 , 3611 0 , 3611 + 0 , 0625 = 0 , 4236 0 , 4236 + 0 , 04 = 0 , 4636 0 , 4636 + 0 , 0278 = 0 , 4914 0 , 4914 + 0 , 0204 = 0 , 5118 0 , 5118 + 0 , 0156 = 0 , 5274\)

Vậy:

\(b \approx 0 , 5274 < 1\)

---

Bước 2: Lập luận tổng quát

Vì mỗi số hạng đều dương và nhỏ hơn 1, tổng của 7 số hạng này nhỏ hơn 1 là điều hiển nhiên.

Ngoài ra, tổng vô hạn của dãy \(\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\) cũng nhỏ hơn 1 (thực tế là \(\frac{\pi^{2}}{6} - 1 \approx 0 , 6449\)), nên tổng 7 số hạng đầu tiên chắc chắn nhỏ hơn 1.

---

Kết luận:

\(b = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \ldots + \frac{1}{8^{2}} < 1\)

Đã chứng minh xong!