Cho đường tròn (O ;R). Lấy đi ểm A sao cho OA = 3R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tia AO cắt (O) tại D và E ( D nằm giữa A và O).
a/ Cm tứ giác ABOC nội tiếp.
b/ Cm : AH.AO = AD.AE
c/ Tính diện tích EBC theo R.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
c: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
=>\(OH=\frac{R^2}{3R}=\frac{R}{3}\)
Ta có: OH+HD=OD
=>\(HD=R-\frac{R}{3}=\frac23R\)
Ta có: HD+HE=DE
=>\(HE=2R-\frac23R=\frac43R\)
ΔOHB vuông tại H
=>\(HB^2+HO^2=BO^2\)
=>\(HB^2=R^2-\left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac89R^2\)
=>\(HB=\frac{2\sqrt2}{3}R\)
H là trung điểm của BC
=>\(BC=2\cdot HB=2\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R\)
Xét ΔEBC có EH là đường cao
nên \(S_{EBC}=\frac12\cdot EH\cdot BC=\frac12\cdot\frac43R\cdot\frac{4\sqrt2}{3}\cdot R=\frac{8\sqrt2}{9}\cdot R^2\)
Tứ gaisc APOQ có tổng hai góc đối bằng 180o.PM //AQ suy ra \widehat{PMN} = \widehat{KAN} (so le trong)\widehat{PMN} = \widehat{APK} (cùng chắn cung PN)Suy ra \widehat{KAN} = \widehat{APK}Tam giác KAN và tam giác KPA có chung góc K\widehat{KAN} = \widehat{APK} nên hai tam giác đồng dạng (g.g)\frac{KA}{KP} = \frac{KN}{KA} => KA2 = KN.KP