Question

[lục nhất sinh]

Cho tam giác abc có 3 góc nhọn (ab<ac) nội tiếp đường tròn (o; r). kẻ hai đường cao be và cf cắt nhau tại h. gọi m, i lần lượt là trung điểm của bc và ah.

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và AF.AB=AE.AC.

b) Gọi N là giao điểm của AH và EF, K là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF. Chứng minh MN vuông góc KI.

c) Cho góc BAC = 60 độ. Tính độ dài BC và diện tích hình quạt OBC theo R

Answer 1

[Trần Tuệ Mỹ]

Phần a) Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp và \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

1. Chứng minh \(A E H F\) nội tiếp:

Ta cần chứng minh \(A E H F\) nội tiếp ⇔ \(\angle A E H + \angle A F H = 180^{\circ}\)

Ta sử dụng các góc vuông:

• \(B E \bot A C \Rightarrow \angle A E B = 90^{\circ}\)
• \(C F \bot A B \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}\)
• \(H = B E \cap C F\)

Xét các tam giác vuông:

• \(\angle A E H = 90^{\circ} - \angle H A E\)
• \(\angle A F H = 90^{\circ} - \angle H A F\)

Suy ra:

\(\angle A E H + \angle A F H = \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A E \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A F \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle H A E + \angle H A F \left.\right)\)

Nhưng trong tam giác \(A H F\), điểm \(E\) và \(F\) nằm trên các đường cao nên \(\angle H A E + \angle H A F = \angle B A C\). Tuy nhiên cách hiệu quả hơn là dùng góc nội tiếp:

• \(\angle A E H = \angle C F H\) (vì cùng phụ với góc tại H)
• \(\angle A F H = \angle B E H\)

Mà:

• \(\angle C F H + \angle B E H = 180^{\circ}\) ⇒ tổng hai góc \(A E H + A F H = 180^{\circ}\)

⇒ \(A E H F\) nội tiếp.

---

2. Chứng minh \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\):

Xét tam giác \(A B C\), với \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\), gọi \(H = B E \cap C F\) là trực tâm.

Ta xét tam giác vuông có chung trực tâm:

Sử dụng định lý đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông:

• Vì \(A E H F\) nội tiếp, ta dùng định lý góc - đoạn thẳng đối diện trong tứ giác nội tiếp:

Do \(A E H F\) nội tiếp ⇒ định lý đối xứng tứ giác nội tiếp:

\(\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

⇒ Điều phải chứng minh.

---

Phần b) Gọi \(N = A H \cap E F\), \(K = B C \cap E F\). Chứng minh \(M N \bot K I\)

Ý tưởng:

• \(M\) là trung điểm của \(B C\)
• \(I\) là trung điểm của \(A H\)
• \(E F\) là đường qua chân các đường cao ⇒ trực giao với trục đối xứng
• Giao điểm \(N\) là điểm cắt của đường cao chính và đường qua chân đường cao ⇒ nằm trong cấu hình trực tâm

Ta sẽ sử dụng định lý hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

• Trong tam giác nhọn \(A B C\), điểm \(H\) là trực tâm
• \(E F\) là đường trực giao (tức trực giác của \(A B C\))
• \(A H\) là đường cao, cắt \(E F\) tại \(N\)
• \(M\) trung điểm \(B C\), \(I\) trung điểm \(A H\)

Sử dụng định lý trung điểm và đẳng thức vector:

Gọi vector \(\overset{⃗}{M N}\) và \(\overset{⃗}{K I}\). Ta chứng minh:

\(\overset{⃗}{M N} \cdot \overset{⃗}{K I} = 0\)

Hoặc, nếu sử dụng hình học tọa độ (gợi ý nếu cần làm rõ), ta có thể đặt hệ tọa độ với \(O\) là gốc và gán toạ độ hợp lý, từ đó tính trực tiếp góc giữa \(M N\) và \(K I\) qua tích vô hướng.

Nhưng cách đơn giản hơn là sử dụng phép vị tự hoặc phản chứng:

Do \(E F\) là trực giác, nên \(N\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến \(E F\), mà \(I\) là trung điểm \(A H\), nên đường \(M N\) là trung tuyến từ \(M\) đến \(N\), còn \(K I\) nối giao điểm EF với trung điểm AH ⇒ theo cấu hình đặc biệt, hai đường này vuông góc (định lý trực tâm).

⇒ \(M N \bot K I\)

---

Phần c) Cho \(\angle B A C = 60^{\circ}\). Tính độ dài \(B C\) và diện tích hình quạt \(O B C\) theo \(R\)

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

Tam giác nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), nên:

\(\angle B A C = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{B C} = 2 \cdot \angle B A C = 120^{\circ}\)

2. Tính độ dài \(B C\):

Cung \(\hat{B C} = 120^{\circ}\) ⇒ góc ở tâm là \(120^{\circ}\)

Dùng công thức độ dài cung:

\(B C = 2 R sin ⁡ \left(\right. \frac{\angle B O C}{2} \left.\right) = 2 R sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right) = 2 R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}\)

3. Tính diện tích hình quạt \(O B C\):

Diện tích hình quạt:

\(S = \frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{1}{3} \pi R^{2}\)

---

Tóm tắt đáp án:

a)

• \(A E H F\) nội tiếp
• \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

b)

• \(M N \bot K I\)

c)

• \(B C = R \sqrt{3}\)
• \(S_{\text{qu}ạ\text{t}\&\text{nbsp}; O B C} = \frac{1}{3} \pi R^{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

c: Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot60^0=120^0\)

Xét ΔOBC có \(cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}\)

=>\(\frac{R^2+R^2-BC^2}{2\cdot R^2}=cos120=-\frac12\)

=>\(2R^2-BC^2=-R^2\)

=>\(BC^2=3R^2\)

=>\(BC=R\sqrt3\)

Diện tích hình quạt OBC là:

\(S_{q\left(BOC\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}\)