Question

[Thắm Nguyễn]

Tìm chữ số tận cùng của số

 C = (1 + 2 + 3 + … + 9) ´ (9 + 99 + 999 + … + 99…9).

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

A = (1 + 2 + 3+ ... + 9).(9 + 99 + 999 +...+ 99..9)

A = 45.(9 + 99 +999+ ...+ 99...9)

A = \(\overline{..5}\)

Answer 2

[Nguyễn Phan Trang Anh]

Để tìm chữ số tận cùng của số \(C = \left(\right. 1 + 2 + 3 + \ldots + 9 \left.\right) \cdot \left(\right. 9 + 99 + \ldots + \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{99 \ldots 9}} \left.\right)\), ta sẽ tính từng phần một.

1. Tính tổng \(1 + 2 + 3 + \ldots + 9\): Đây là tổng của một cấp số cộng với số đầu \(a_{1} = 1\), số cuối \(a_{n} = 9\), và số số hạng \(n = 9\). Tổng \(S\) của cấp số cộng này là: \(S = \frac{n \left(\right. a_{1} + a_{n} \left.\right)}{2} = \frac{9 \left(\right. 1 + 9 \left.\right)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45\) Vậy, \(1 + 2 + 3 + \ldots + 9 = 45\).
2. Tính tổng \(9 + 99 + \ldots + \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{99 \ldots 9}}\): Ta có thể viết lại tổng này như sau: \(\left(\right. 10 - 1 \left.\right) + \left(\right. 100 - 1 \left.\right) + \ldots + \left(\right. 1 0^{9} - 1 \left.\right)\) \(= \left(\right. 10 + 100 + \ldots + 1 0^{9} \left.\right) - \left(\right. 1 + 1 + \ldots + 1 \left.\right)\) Trong đó, có 9 số 1. Vậy: \(= \left(\right. 10 + 1 0^{2} + \ldots + 1 0^{9} \left.\right) - 9\) Tổng \(10 + 1 0^{2} + \ldots + 1 0^{9}\) là một cấp số nhân với số đầu \(b_{1} = 10\), công bội \(q = 10\), và số số hạng \(n = 9\). Tổng \(T\) của cấp số nhân này là: \(T = \frac{b_{1} \left(\right. q^{n} - 1 \left.\right)}{q - 1} = \frac{10 \left(\right. 1 0^{9} - 1 \left.\right)}{10 - 1} = \frac{10 \left(\right. 1 0^{9} - 1 \left.\right)}{9}\) \(= \frac{10 \left(\right. \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{999 \ldots 9}} \left.\right)}{9} = 10 \cdot \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 1}} = \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 11110}}\) Vậy, \(9 + 99 + \ldots + \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{99 \ldots 9}} = \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 11110}} - 9 = \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 11101}}\).
3. Tính \(C\): \(C = 45 \cdot \left(\right. \underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 11101}} \left.\right)\) Để tìm chữ số tận cùng của \(C\), ta chỉ cần quan tâm đến chữ số tận cùng của mỗi số trong tích: Chữ số tận cùng của 45 là 5. Chữ số tận cùng của \(\underset{9 \&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}}{\underbrace{111 \ldots 11101}}\) là 1. Vậy, chữ số tận cùng của \(C\) là chữ số tận cùng của \(5 \cdot 1 = 5\).

Vậy, chữ số tận cùng của số \(C\) là 5.