Question

[Nguyễn Mạnh Việt Bách]

giải phương trình nghiệm nguyên y^2+y=x^4+x^3+x^2+x

Answer 1

[Đào Thảo Nguyên]

Biến đổi phương trình: Nhân cả hai vế của phương trình với 4 và cộng 1, ta được: \(4 y^{2} + 4 y + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1\) \(\left(\right. 2 y + 1 \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1\) 2. Đánh giá và chặn: Ta tìm các biểu thức bậc hai của \(x\) sao cho bình phương của chúng gần với vế phải. Xét \(\left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right)^{2}\) và \(\left(\right. 2 x^{2} + x + 1 \left.\right)^{2}\): \(\left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + x^{2}\) \(\left(\right. 2 x^{2} + x + 1 \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 1\) Ta có: \(\left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right)^{2} < \left(\right. 2 y + 1 \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1\) \(\left(\right. 2 y + 1 \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 < \left(\right. 2 x^{2} + x + 2 \left.\right)^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{2} + 4 x + 4\) Điều này đúng khi \(x\) đủ lớn. 3. Xét các trường hợp: Từ các đánh giá trên, ta có thể suy ra \(\left(\right. 2 y + 1 \left.\right)^{2}\) phải nằm giữa \(\left(\right. 2 x^{2} + x \left.\right)^{2}\) và \(\left(\right. 2 x^{2} + x + 2 \left.\right)^{2}\). Do đó, ta chỉ cần xét các trường hợp:

• Trường hợp 1: \(\left(\right. 2 y + 1 \left.\right)^{2} = \left(\right. 2 x^{2} + x + 1 \left.\right)^{2}\) \(4 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 1\) \(0 = x^{2} - 2 x\) \(x \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\) Vậy \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
• • Nếu \(x = 0\), thì \(y^{2} + y = 0\), suy ra \(y \left(\right. y + 1 \left.\right) = 0\), vậy \(y = 0\) hoặc \(y = - 1\).
  • Nếu \(x = 2\), thì \(y^{2} + y = 16 + 8 + 4 + 2 = 30\), suy ra \(y^{2} + y - 30 = 0\), vậy \(\left(\right. y - 5 \left.\right) \left(\right. y + 6 \left.\right) = 0\), vậy \(y = 5\) hoặc \(y = - 6\).
• Trường hợp 2: Xét các giá trị nhỏ của \(x\) mà các đánh giá trên không đúng, ví dụ \(x = - 1 , - 2 , 1\).
• • Nếu \(x = - 1\), thì \(y^{2} + y = 1 - 1 + 1 - 1 = 0\), suy ra \(y \left(\right. y + 1 \left.\right) = 0\), vậy \(y = 0\) hoặc \(y = - 1\).
  • Nếu \(x = 1\), thì \(y^{2} + y = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\), suy ra \(y^{2} + y - 4 = 0\). Phương trình này không có nghiệm nguyên.

4. Kết luận: Các nghiệm nguyên của phương trình là: \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - 1 \left.\right) , \left(\right. 2 , 5 \left.\right) , \left(\right. 2 , - 6 \left.\right) , \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. - 1 , - 1 \left.\right)\)