9\(\) \(\frac{9}{2*3}+\frac{9}{3*2}+.....+\frac{9}{109*100}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 3 2018
Bạn tham khảo nhé
\(a)\)Đặt \(A=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}\)
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(A< 1-\frac{1}{100}=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}< 1\) ( đpcm )
Vậy \(A< 1\)
MT
13 tháng 8 2015
a) \(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}<1\)
\(\text{Vậy }\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<1\)
31 tháng 8 2016
C = 1/100 - ( 1/2.1 + 1/3.2 + ... + 1/98.97 + 1/99.98 + 1/100.99
C = 1/100 - ( 1- 1/2+ 1/2 - 1/3 + ... + 1/97 - 1/98 + 1/98 - 1/99 + 1/99 - 1/100 )
C = 1/100 - ( 1 - 1/100 )
C = 1/100 - 99/100
C = \(\frac{-49}{50}\)
CA
1 tháng 4 2016
\(\frac{24\cdot47-23}{24+47\cdot23}.\frac{3+\frac{3}{7}-\frac{3}{11}+\frac{3}{1001}-\frac{3}{13}}{\frac{9}{1001}-\frac{9}{13}+\frac{9}{7}-\frac{9}{11}+9}\)
\(=\frac{24\cdot\left(24+23\right)-23}{24+\left(24+23\right)\cdot23}\cdot\frac{3\left(1+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{1001}-\frac{1}{13}\right)}{9\left(\frac{1}{1001}-\frac{1}{13}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+1\right)}\)
\(=\frac{24^2+24\cdot23-23}{24+24\cdot23+23^2}\cdot\frac{3}{9}\) \(=\frac{24^2+23\cdot\left(24-1\right)}{\left(23+1\right)\cdot24\cdot23^2}\cdot\frac{1}{3}=1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
S
2 tháng 5 2017
Đặt A là tên biểu thức trên
Ta có: \(A=\frac{200-\left(3+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}+...+\frac{2}{100}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}}\)
\(A=\frac{200-2\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{100}\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)+....+\left(1-\frac{1}{100}\right)}\)
\(A=\frac{2\left[100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{100}\right)\right]}{100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)}\)
\(A=2\)
Ta cùng phân tích biểu thức sau:
\(\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 2}{9} + \frac{4 \cdot 5}{9} + \frac{5 \cdot 4}{9} + \ldots + \frac{109 \cdot 100}{9}\)Bước 1: Nhận xét cấu trúc dãy
Ta thấy các số hạng có dạng:
\(\frac{a \cdot b}{9}\)với các cặp \(\left(\right. a , b \left.\right)\) là:
Tức là các số hạng được viết theo từng cặp hoán vị: \(\left(\right. n \cdot \left(\right. n + 1 \left.\right) \left.\right)\) và \(\left(\right. \left(\right. n + 1 \left.\right) \cdot n \left.\right)\), bắt đầu từ \(n = 2\) đến \(n = 108\).
Như vậy mỗi cặp là:
\(\frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{9} + \frac{\left(\right. n + 1 \left.\right) n}{9} = 2 \cdot \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{9}\)Và \(n\) chạy từ 2 đến 108 (vì đến 109 thì không còn cặp nữa).
Bước 2: Tính tổng
Tổng biểu thức là:
\(\sum_{n = 2}^{108} 2 \cdot \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{9} = \frac{2}{9} \sum_{n = 2}^{108} n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)Giờ ta tính:
\(\sum_{n = 2}^{108} n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)Ta có:
\(n \left(\right. n + 1 \left.\right) = n^{2} + n \Rightarrow \sum_{n = 2}^{108} n \left(\right. n + 1 \left.\right) = \sum_{n = 2}^{108} n^{2} + \sum_{n = 2}^{108} n\)Ta dùng công thức tổng:
Tính từ 2 đến 108:
\(\sum_{n = 2}^{108} n = \sum_{n = 1}^{108} n - 1 = \frac{108 \cdot 109}{2} - 1 = 5886 - 1 = 5885\) \(\sum_{n = 2}^{108} n^{2} = \sum_{n = 1}^{108} n^{2} - 1^{2} = \frac{108 \cdot 109 \cdot 217}{6} - 1 = 425124 - 1 = 425123\)Vậy:
\(\sum_{n = 2}^{108} n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 425123 + 5885 = 431008\)Rồi thay vào:
\(\frac{2}{9} \cdot 431008 = \frac{862016}{9} = 95779. \overset{\overline}{5}\)Kết luận:
Giá trị của biểu thức là:
\(\boxed{95779 \frac{5}{9}}\)