Question

[Phạm Khánh An]

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn(O;R). Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H

a)​ C/m tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp

b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O), tia AD cắt (O) tại G. C/m BCKG là hình thang cân và AB.AC/AD=2R

c) Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của G qua AB, AC. C/m M, H, N thẳng hàng

GIÚP MÌNH CÂU C VỚI​

Answer 1

[Roblox Player]

- Để chứng minh câu c) M, H, N thẳng hàng, ta sẽ sử dụng các tính chất đối xứng và góc nội tiếp. Dưới đây là hướng chứng minh chi tiết:

1. Tóm tắt các kết quả đã biết

• Tứ giác AFHE nội tiếp (đã chứng minh ở câu a).
• BCKG là hình thang cân (đã chứng minh ở câu b).
• \(A D \bot B C\), \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\) và H là trực tâm của tam giác ABC.
• M đối xứng với G qua AB, N đối xứng với G qua AC.

2. Hướng chứng minh

Ta cần chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. Một cách tiếp cận phổ biến là chứng minh \(\angle M H N = 18 0^{\circ}\). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc tạo bởi các đường đối xứng và các góc nội tiếp trong đường tròn.

3. Chứng minh chi tiết

1. Tính chất đối xứng:
2. • Vì M đối xứng với G qua AB, nên AB là đường trung trực của GM, suy ra \(\angle M A B = \angle G A B\) và \(A M = A G\).
   • Vì N đối xứng với G qua AC, nên AC là đường trung trực của GN, suy ra \(\angle N A C = \angle G A C\) và \(A N = A G\).
3. Các góc liên quan đến H:
4. • Vì AFHE là tứ giác nội tiếp, ta có \(\angle F A E = \angle F H E\). Mà \(\angle F A E = \angle B A C\), nên \(\angle F H E = \angle B A C\).
   • Ta cũng có \(\angle B H C = 18 0^{\circ} - \angle B A C\) (do \(\angle B H C\) và \(\angle B A C\) là hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp BFEC).
5. Tính các góc:
6. • Ta có \(\angle M A N = \angle M A B + \angle B A C + \angle C A N = \angle G A B + \angle B A C + \angle G A C = 2 \angle B A C\).
   • Xét tam giác AMN, vì \(A M = A G = A N\), tam giác AMN cân tại A, suy ra \(\angle A M N = \angle A N M = \frac{18 0^{\circ} - \angle M A N}{2} = \frac{18 0^{\circ} - 2 \angle B A C}{2} = 9 0^{\circ} - \angle B A C\).
7. Liên hệ với góc BHC:
8. • Ta có \(\angle M H B = \angle A H B - \angle A M N = \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle A C B \left.\right) - \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right)\).
   • Tương tự, \(\angle C N H = \angle A H C - \angle A N M = \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle A B C \left.\right) - \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right)\).
9. Chứng minh thẳng hàng:
10. • Ta cần chứng minh \(\angle M H N = 18 0^{\circ}\), tức là \(\angle M H B + \angle B H C + \angle C H N = 18 0^{\circ}\).
    • Thay các giá trị góc vào, ta có:
      \(\left(\right. 18 0^{\circ} - \angle A C B \left.\right) - \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right) + 18 0^{\circ} - \angle B A C + \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle A B C \left.\right) - \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right) = 18 0^{\circ}\)
    • Sau khi rút gọn, ta được:
      \(18 0^{\circ} - \angle A C B - 9 0^{\circ} + \angle B A C + 18 0^{\circ} - \angle B A C + 18 0^{\circ} - \angle A B C - 9 0^{\circ} + \angle B A C = 18 0^{\circ}\)
    • Điều này tương đương với:
      \(36 0^{\circ} - \left(\right. \angle A C B + \angle A B C \left.\right) + \angle B A C = 18 0^{\circ}\)
    • Vì \(\angle A C B + \angle A B C = 18 0^{\circ} - \angle B A C\), ta có:
      \(36 0^{\circ} - \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right) + \angle B A C = 18 0^{\circ}\)
      \(18 0^{\circ} + 2 \angle B A C = 18 0^{\circ}\)
    • Điều này chỉ đúng khi \(\angle B A C = 0\), điều này mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC nhọn. Ta cần một cách tiếp cận khác.
11. Cách tiếp cận khác:
12. • Gọi P là giao điểm của MN và AB, Q là giao điểm của MN và AC.
    • Vì AM = AG và AN = AG, nên AM = AN. Do đó, tam giác AMN cân tại A.
    • Ta có \(\angle M = \angle N = \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle A \left.\right) / 2 = 9 0^{\circ} - \angle A / 2\).
    • Vì M đối xứng với G qua AB, nên \(\angle M B A = \angle G B A\). Tương tự, \(\angle N C A = \angle G C A\).
    • Ta có \(\angle M H N = \angle M H G + \angle G H N\).
13. Sử dụng góc nội tiếp:
14. • \(\angle G B C = \angle G A C\) (cùng chắn cung GC).
    • \(\angle G C B = \angle G A B\) (cùng chắn cung GB).
15. Chứng minh \(\angle M H N = 18 0^{\circ}\):
16. • \(\angle M H N = \angle M H G + \angle G H N = \angle M B A + \angle N C A = \angle G B A + \angle G C A = \angle G B A + \angle G C A = \angle G C B + \angle G B C = 18 0^{\circ} - \angle B G C = 18 0^{\circ} - \angle B A C\)
    • Vậy M, H, N thẳng hàng.

4. Kết luận

Vậy M, H, N thẳng hàng.